(配套教参)第五章 第3节 向量的数量积及平面向量的应用-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

第3节　向量的数量积及平面向量的应用 课程标准解读 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． [知识梳理] 1．平面向量数量积的有关概念 (1)向量的夹角：给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉． (2)向量的垂直：当〈a，b〉＝时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量垂直． (3)数量积的定义：一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉． (4)数量积的几何意义：两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2． (2)模：|a|＝＝. (3)夹角：cos θ＝＝． (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 4．平面几何中的向量方法 三步曲：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 常用结论 1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是.(　　) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　) (3)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　) (4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(教材改编)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1且|3a－2b|＝，则a，b的夹角为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析：A　设a，b的夹角为θ，由题意得(3a－2b)2＝7，即9×1＋4×1－12×1×1×cos θ＝7，解得cos θ＝，又θ∈[0，π]，故θ＝. 3．(教材改编)已知平面向量a，b，满足|a|＝|b|＝1，若(2a－b)·b＝0，则向量a，b的夹角为(　　) A．　 B．　 C．　 D． 解析：C　由(2a－b)·b＝0得b2＝2a·b， ∴cos〈a，b〉＝＝，即〈a，b〉＝. 故选C． 4．(2022·全国甲卷)已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝________． 解析：∵a⊥b，∴a·b＝m＋3(m＋1)＝4m＋3＝0，解得m＝－. 答案：－ 5．(易错自纠)已知向量a＝(5，5)，b＝(λ，1)，若a＋b与a－b的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为__________． 解析：由题意(a＋b)·(a－b)＞0，即a2－b2＞0，52＋52＞λ2＋12，∴－7＜λ＜7；若a＋b与a－b共线，则a＋b＝k(a－b)，则 解得要使a＋b与a－b的夹角为锐角，则λ≠1，综上λ的范围是(－7，1)∪(1，7)． 答案：(－7，1)∪(1，7) 考点一　平面向量数量积的运算（综合性） [角度1]　数量积的基本运算 1．(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：C　由|a－2b|＝3，可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9，又|a|＝1，|b|＝，所以a·b＝1，故选C． 2．(2022·湖南邵阳一模)在▱ABCD中，＝(1，2)，＝(3，4)，则·＝(　　) A．－5 B．－4 C．－3 D．－2 解析：A　因为＝＋，＝－，所以2＝2＋2·＋2，2