(配套教参)第五章 第1节 平面向量的概念及线性运算-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

第1节　平面向量的概念及线性运算 课程标准解读 1．理解平面向量的意义、几何表示及相等向量的含义. 2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及共线向量的含义. 3.了解向量线性运算的性质及其几何意义． [知识梳理] 1．向量的有关概念 (1)向量：我们把既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)，向量的大小也称为向量的模(或长度)． (2)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量． (3)单位向量：模等于1的向量称为单位向量． (4)平行向量(共线向量)：如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行．通常规定零向量与任意向量平行． (5)相等向量：大小相等、方向相同的向量． (6)相反向量：大小相等、方向相反的向量． 2．平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 (1)结合律：λ(μ a)＝λμ_a＝μ(λa)； (2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μ_a； (3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 3．共线向量定理 如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa． 4．向量模的不等式 向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 　共线向量定理中易忽视“a≠0”，若忽视“a≠0”，则λ可能不存在；也可能有无数个． 常用结论 1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． 2．若G为△ABC的重心，则有 (1)＋＋＝0；(2)＝(＋)． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　) (2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　　) (3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　) (4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之亦成立．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等，则所有正确的命题的序号是(　　) A．① B．③ C．①③ D．①② 解析：A　根据零向量的定义可知①正确；两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误． 3．(教材改编)设M为△ABC所在平面内一点，且＝3，则(　　) A．＝－＋ B.＝－ C．＝＋ D．＝－ 解析：A　由＝3，得＝，所以＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋. 4．(易错自纠)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　) A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同 C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a 解析：B　对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，故A不正确，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定，故C不正确；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小，故D不正确． 5．(易错自纠)下列四个命题中，正确的是(　　) A．若a∥b，则a＝b B．若|a|＝|b|，则a＝b C．若|a|＝|b|，则a∥b D．若a＝b，则|a|＝|b| 解析：D　A中，a∥b，则a＝λb，故A不正确；B、C中，由于向量a，b的模大小相等，但其方向不确定，故B、C都不正确；D显然正确. 考点一　平面向量的有关概念（基础性） 1．(多选题)下列命题中正确的有(　　) A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是方向相反的向量 C．a与b同向，且|a|>|b|，则a>b D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 解析：AD　由平行向量和共线向量的含义可知，A正确；因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以B是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以C是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D正确． 2．(多选题)给出下列命题，不正确的有(　　) A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABC