(配套教参)第四章 数学建模2 解三角形的应用-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

数学建模2　解三角形的应用 课程标准解读 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． [知识梳理] 1．仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1)． 　图1　　　　　　　　　　　图2 2．方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图2)． 3．方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等． 4．坡度 坡面与水平面所成的二面角的正切值． 　准确区分方向角与方位角 (1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角． (2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角． 5．解三角形实际问题的一般步骤 [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向．(　　) (2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　) (4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2.(教材改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　) A．50 m　　　　　　 B．50 m C．25 m D． m 解析：A　在△ABC中，由正弦定理得 ＝， 又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°， ∴AB＝＝＝50 (m)． 3．(教材改编)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角为45°，在D点测得塔顶A的仰角为30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为________m. 解析：设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝ x. 在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40. 故电视塔的高度为40 m. 答案：40 4．(易错自纠)若点A在点C的北偏东30°方向，点B在点C的南偏东60°方向，且AC＝BC，则点A在点B的________方向． 解析：如图所示，∠ACB＝90°， 又AC＝BC， ∴∠CBA＝45°， 又β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°， ∴点A在点B的北偏西15°方向． 答案：北偏西15° 5．(2023·威海质检)如图，某直径为5海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里，cos∠BAD＝－.则小岛B与小岛D之间的距离为________海里；小岛B，C，D所形成的三角形海域BCD的面积为________平方海里． 解析：依题意，∠C＝π－∠BAD，且cos∠BAD＝－ 所以cos C＝－cos∠BAD＝. 又C为锐角，所以sin C＝＝. 在△BCD中，由正弦定理得＝＝5. 所以BD＝3海里． 在△BCD中，由余弦定理得 (3)2＝CD2＋52－2CD×5×，整理得CD2－8CD－20＝0. 解得CD＝10(负值舍去)． 所以S△BCD＝×10×5×＝15(平方海里)． 答案：3　15 考点一　解三角形应用举例（应用性） [角度1]　测量距离问题 　海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________． [解析]　由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°. 由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)． 在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°， 由正弦定理＝， 得BC＝＝＝160sin 15°＝40(－)． 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1600×(8＋4)＋1600×(8－4)＋2×1600×(＋)×(－)×＝1600×16＋1600×4＝1600×20＝32 000， 解得AB＝80， 故图中海洋蓝洞的口径为80. [答案]　80 [角度2]　测量高度问题 　(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一