(配套教参)第四章 第3节 第2课时 简单的三角恒等变换-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

第2课时　简单的三角恒等变换 考点一　三角函数式的化简（基础性） 1．2＋等于(　　) A．2cos 2　　　　　 B．2sin 2 C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2 解析：B　原式＝2＋ ＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|. 由于<2<π， 所以cos 2<0，sin 2＋cos 2>0. 故原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2. 2．化简：＝________． 解析：原式＝ ＝ ＝＝＝cos 2x. 答案：cos 2x 3．化简：(－tan)·(1＋tan α·tan )＝________． 解析：(－tan)·(1＋tan α·tan ) ＝(－)·(1＋·) ＝· ＝·＝. 答案： 1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看角，二看名，三看式子结构与特征． 2．三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点． 考点二　三角函数求值问题（综合性） [角度1]　给角求值 　(1)－＝(　　) A．4　　 B．2　　 C．－2　　 D．－4 [解析]　－＝－ ＝＝＝－4. [答案]　D (2)计算：＝________． [解析]　原式＝ ＝ ＝ ＝＝－4. [答案]　－4 [角度2]　给值求值 　(1)(2023·衡水调研)已知sin(α－)＋cos α＝，则sin(2α＋)等于(　　) A．　　 B．　　 C．－　　 D．－ [解析]　∵sin (α－)＋cos α ＝－cos α＋cos α ＝sin α＋cos α＝sin(α＋)， ∴sin(α＋)＝， 则cos 2(α＋)＝1－2sin2(α＋)＝， ∴sin(2α＋)＝sin[(2α＋)－]＝－cos(2α＋)＝－. [答案]　D (2)(2023·合肥一中检测)已知角θ满足sin θcos θ·(sin θ＋cos θ)＝，则tan(－)＝________． [解析]　由题设，得sin 2θ·sin(θ＋)＝. ∴sin 2θ·sin(θ＋)＝1. 则sin 2θ＝sin(θ＋)＝1　① 或sin 2θ＝sin(θ＋)＝－1.　② 由①得θ＝2kπ＋，k∈Z，由②，无解． 因此θ＝2kπ＋，k∈Z， 故tan(－π)＝tan(kπ＋－π) ＝tan(－)＝－1. [答案]　－1 [角度3]　给值求角 　已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________． [解析]　因为cos α＝， 所以cos 2α＝2cos2α－1＝. 又因为α，β均为锐角，sin β＝， 所以sin α＝，cos β＝， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝， 所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β ＝×－×＝. 因为α为锐角，所以0<2α<π. 又cos 2α>0，所以0<2α<， 又β为锐角，所以－<2α－β<， 又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝. [答案]　　 1．给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． 2．给值求角问题的解题策略 (1)求相关角的某一个三角函数值． (2)由求得的三角函数值求角，如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小，应根据已知角的范围和已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计，以排除多余的解． 1.＝(　　) A．－　　 B．1　　 C．　　 D．2 解析：C　原式＝ ＝ ＝＝. 2．若tan α＋＝，α∈(，)，则sin(2α＋)＋2coscos2α＝________． 解析：∵tan α＋＝，α∈(，)， ∴tan α＝3或tan α＝(舍)， 则sin(2α＋)＋2coscos2α ＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＋· ＝sin 2α＋cos 2α＋ ＝(2sin αcos α)＋(cos2 α－sin2α)＋ ＝·＋·＋ ＝·＋·＋ ＝×＋×＋＝0. 答案：0 考点三　三角恒等变换的应用（应用性） 　已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)． (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值； (2)若f(x0)＝，x0∈[，]，求cos 2x0的值． [解]　(1)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1 ＝(2sin xcos x)＋(2cos2x－1) ＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)， 所以函数f(x)的最小正周期为π. 因为f(x)＝2sin(2x＋)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减， 又f(0)＝1，f()＝2，f()＝－1， 所以函数f