(配套教参)第七章 第6节 第2课时 空间距离、折叠及探索性问题-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教A版）

第2课时　空间距离、折叠及探索性问题 考点一　利用向量法求距离(应用性) 　(2023·长沙一中月考)如图，四棱锥P -ABCD中，AB∥CD，AB＝CD＝1，E为PC的中点． (1)证明：BE∥平面PAD； (2)若AB⊥平面PBC，△PBC是边长为2的正三角形，求点E到平面PAD的距离． [解]　(1)证明：如图，取PD的中点F，连接AF，EF， 因为E为PC的中点，F为PD的中点， 所以EF綊CD． 又AB綊CD， 所以EF綊AB，故四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF. 又BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD， 所以BE∥平面PAD． (2)如图，取BC的中点O，AD的中点M，连接OP，OM，则OM∥AB∥CD． 在等边△PBC中，PO＝，OP⊥BC． 又AB⊥平面PBC，所以OM⊥平面PBC． 如图，以O为坐标原点，分别以射线OC，OM，OP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则P(0，0，)，A(－1，1，0)，D(1，2，0)，C(1，0，0)，故E(，0，)， 所以＝(2，1，0)，＝(－1，1，－)，＝(，0，－)． 设平面PAD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，则y＝－2，z＝－，故n＝(1，－2，－)为平面PAD的一个法向量． 所以点E到平面PAD的距离d＝ ＝＝. 1．向量法求点到直线距离的步骤 (1)根据图形求出直线的单位方向向量v. (2)在直线上任取一点M(可选择便于计算的点)．计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度d＝ . 2．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离． (2)等体积法． (3)向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意点，则点P到α的距离为d＝. 1．(多选题)已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，P在正方体内部且满足＝＋＋，则下列说法正确的是(　　) A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面ABC1D1的距离为 C．平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 解析：BC　如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，E(，0，1)， 所以＝(－1，0，0)，＝(－，0，1)． 设∠ABE＝θ，则cos θ＝＝， sin θ＝＝. 故点A到直线BE的距离d1＝||sin θ＝1×＝，故A错误； 易知＝＝(－，－，0)， 平面ABC1D1的一个法向量＝(0，－1，1)， 则点O到平面ABC1D1的距离 d2＝＝＝，故B正确； ＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(0，1，0)． 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 则所以 令z＝1，得y＝1，x＝1， 所以n＝(1，1，1)． 所以点D1到平面A1BD的距离 d3＝＝＝. 因为平面A1BD∥平面B1CD1， 所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为，故C正确； 因为＝＋＋， 所以＝(，，)， 又＝(1，0，0)，则＝， 所以点P到直线AB的距离 d4＝＝＝，故D错误． 考点二　折叠问题(综合性) 　(2022·河北石家庄模拟)如图①，在梯形ABCD中，∠BAD为直角，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，将三角形ABD沿BD折起至PBD，如图②. (1)若平面PBD⊥平面BCD，求证：PB⊥PC； (2)设E是PC的中点，若二面角E-BD-C为30°，求二面角P-BD-C的正弦值． 图①　　　　　　　　　图② [解]　(1)证明：由题设知△PBD为等腰直角三角形且PB⊥PD，PB＝PD＝2，则BD＝4.又∠DBC＝45°，BC＝4，在△BCD中由余弦定理得CD＝4，所以BD2＋CD2＝BC2，即BD⊥CD. 证法一：因为平面PBD⊥平面BCD， 平面PBD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，所以CD⊥平面PBD. 又PB⊂平面PBD，则CD⊥PB. 又PD∩CD＝D，所以PB⊥平面PCD. 又PC⊂平面PCD，则PB⊥PC. 证法二：取BD的中点Q，连接CQ(图略)． 在Rt△CDQ中，CQ2＝DQ2＋CD2＝20. 连接PQ，则PQ＝2且PQ⊥BD， 又平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，PQ⊂平面PBD， 所以PQ⊥平面BCD.又CQ⊂平面BCD，则PQ⊥CQ. 在Rt△PQC中，PC2＝PQ2＋CQ2＝24，又BC2＝32，所以在△PBC中，BC2＝PB2＋PC2，即PB⊥PC. (2)设