第2章 平面解析几何初步 章末总结-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

章末总结 专题一　两条直线的位置关系 1．判断两直线平行、垂直的方法 (1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1＝k2⇔l1∥l2． (2)若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1⇔l1⊥l2． (讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况) 2．已知两条直线的一般式方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， (1)l1∥l2⇔A2＝λA1，B2＝λB1，C2≠λC1，λ为非零实数； (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． 【例1】　已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值． (1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等． 解：(1)∵l1⊥l2， ∴a(a－1)＋(－b)·1＝0． 即a2－a－b＝0．① 又点(－3，－1)在l1上， ∴－3a＋b＋4＝0．② 由①②解得a＝2，b＝2． (2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a， ∴l1的斜率也存在，＝1－a， 即b＝． 故l1和l2的方程可分别表示为 l1：(a－1)x＋y＋＝0， l2：(a－1)x＋y＋＝0． ∵原点到l1与l2的距离相等， ∴4＝，解得a＝2或a＝． 因此或 [跟踪训练] 1．已知直线l1：mx＋4y－2＝0与l2：2x－5y＋n＝0互相垂直，且垂足为(1，p)，则m＋p＝________，n＝________． 解析：∵直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0垂直，∴×＝－1，∴m＝10． 直线mx＋4y－2＝0即5x＋2y－1＝0， 垂足为(1，p)代入得5＋2p－1＝0， ∴p＝－2，∴m＋p＝8， 把(1，－2)代入2x－5y＋n＝0可得 n＝－12． 答案：8 －12 专题二　两条直线的交点与距离 两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题． 【例2】　直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程． 解：当直线过原点时，设所求直线方程为kx－y＝0，则＝3． 解得k＝±－6， ∴y＝(±－6)x． 当直线不经过原点时，设所求直线方程为x＋y＝a，则＝3，解得a＝13或a＝1，∴x＋y－13＝0或x＋y－1＝0． 综上，所求直线方程为y＝(±－6)x或x＋y－13＝0或x＋y－1＝0． [跟踪训练] 2．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点． (1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程； (2)求点A(5，0)到l的距离的最大值． 解：(1)设经过两已知直线交点的直线系方程为2x＋y－5＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， 所以＝3， 即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝或λ＝2． 所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0． (2)由解得交点P(2，1)，过P作任一直线l(图略)，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)． 所以dmax＝|PA|＝． 专题三　求圆的方程 　求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用几何方法或代数方法解决问题，多以选择题、填空题为主，属于基础题． (1)圆的方程中有三个参数，即标准方程中的a，b，r，或一般式中的D，E，F，因此需要三个独立条件建立方程组求解． (2)求圆的方程时，首选几何法，即先分析给出的条件的几何意义，或直接利用待定系数法求解． 【例3】　一个圆C和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)，求圆C的方程． 解：由x2＋y2－2x＝0得(x－1)2＋y2＝1，故其圆心为(1，0)，半径为1． ∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切， 故两个圆心之间的距离等于半径的和， 又∵圆C与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)， 可得圆心与点M(3，－)的连线与直线x＋y＝0垂直，其斜率为． 设圆C的圆心为(a，b)，半径为r， 则 解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6， ∴圆C的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36． [跟踪训练] 3．已知直线l经过两条直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直． (1)求直线l的方程； (2)若圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程． 解：(1)由解得两直线交点为(2，1)，∵l与x＋y－2＝0垂直，∴k1＝1． 又∵l过点(2，1)， ∴l的方程y