第1章 数 列 章末总结-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

章末总结 专题一　等差、等比数列的判定 等差、等比数列的判定方法 定义法 an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列 判定证明方法 ＝q(非零常数)⇔{an}是等比数列 中项 公式法 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列 a＝anan＋2(anan＋1an＋2≠0)⇔{an}是等比数列 通项 公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列 判定方法 an＝cqn(c，q均为非零常数)⇔{an}是等比数列 前n项 和公式法 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列 Sn＝kqn－k(k为非零常数，且q≠0)⇔{an}是等比数列且q≠1． 【例1】　(2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2． (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式． 【解】　(1)证明：由bn＝S1·S2·…·Sn可得，Sn＝ 由＋＝2知， 由n＝1时，＋＝2，即＋＝2，所以b1＝S1＝， 当n≥2时，＋＝2，即2bn＝2bn－1＋1，即bn－bn－1＝， 故数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． (2)由(1)知，bn＝＋(n－1)×＝， 故当n≥2时，Sn＝＝，S1也符合该式， 即Sn＝(n∈N＋)， 从而a1＝S1＝， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－，a1不符合该式， 所以an＝ [跟踪训练] 1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1． (1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项公式； (2)设bn＝an＋1＋2an，求证：数列{bn}是等比数列． 证明：(1)因为Sn＝2an＋1． 所以Sn＋1＝2an＋1＋1， Sn＋1－Sn＝an＋1＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an， 所以an＋1＝2an．① 由a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1， 结合①知an≠0．所以＝2． 所以{an}是等比数列，且an＝－2n－1． (2)由(1)知，an＝－2n－1，所以bn＝an＋1＋2an＝－2n－2×2n－1＝－2×2n＝－2n＋1＝－4×2n－1． 所以数列{bn}是等比数列． 专题二　数列的通项公式及应用 数列的通项公式的求法 (1)定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项，这种方法适用于已知数列类型的题目． (2)已知Sn求an 若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项，可用公式an＝求解． (3)构造法 有些数列直观上不符合以上各种形式，这时，可对其结构进行适当变形，以利于使用以上各类方法．例如，已知a1，an＋1＝pan＋q(p，q为常数)，则可用构造等比数列法，即an＋1＋x＝p(an＋x)，{an＋x}为等比数列，或an＋2－an＋1＝p(an＋1－an)，{an＋1－an}为等比数列． (4)累加、累乘法 数列的递推关系形为“an＋1－an＝f(n)”型的可采用累加法， 即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(2)＋f(1)＋a1． 数列的递推关系形为：＝f(n)型的可用累乘法，即an＝××…×××a1＝f(n－1)·f(n－2)…f(2)·f(1)·a1． 【例2】　已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)． (1)求证：数列是等差数列； (2)求{an}的通项公式． 【解】　(1)证明：∵n≥2时，an＝Sn－Sn－1， 又an＋2SnSn－1＝0， ∴Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0． ∵Sn≠0，两边同除以SnSn－1，得 －＋2＝0， 即－＝2(n≥2)， 故数列是等差数列． (2)∵a1＝1，＝＝1， ∴＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴Sn＝． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝－ ＝－． 当n＝1时 a1＝－＝2≠1， 故{an}的通项公式为 an＝ [跟踪训练] 2．已知数列{an}中，an＋1＝3an＋4，且a1＝1，则数列{an}的通项公式为________． 解析：法一：an＝3an－1＋4＝3(3an－2＋4)＋4＝32an－2＋3×4＋4＝33an－3＋32×4＋3×4＋4＝…＝3n－1a1＋3n－2×4＋3n－3×4＋…＋3×4＋4＝3n－1＋＝3n－1＋2(3n－1－1)＝3n－2． 法二：∵an＋1＝3an＋4， ∴an＋1＋2＝3(an＋2)． 令bn＝an＋2，∵b1＝a1＋2＝3，∴数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，则bn＝3n，∴an＝3n－2． 法三：∵an＋1＝3an＋4　①， ∴an＝3an