2.5 圆的方程-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

2．5　圆的方程 2．5．1　圆的标准方程 [素养目标]　1．掌握圆的定义及标准方程．　2．会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系．　3．培养学生数形结合思想、数学运算的学科素养． 一、圆的标准方程 1．圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的所有的点组成的集合，定点即圆心，定长就是半径． 2．圆的要素：圆心和半径，如图所示． 3．圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆． 理解1　求圆的标准方程 【典例1】　求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆心为点(2，－1)，且过原点； (2)圆过两点A(3，1)、B(－1，3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上． 【解】　(1)∵圆心在(2，－1)且过原点， ∴a＝2，b＝－1，r＝＝． ∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5． (2)法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，依题意， 得 即 解得 所以所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10． 法二：直线AB的斜率为k＝＝－， 可知AB垂直平分线m的斜率为2． AB中点的横坐标和纵坐标分别为 x＝＝1，y＝＝2． 因此m的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0． 又圆心在直线3x－y－2＝0上， 所以圆心在这两条直线的交点上． 联立方程组解得 所以圆心坐标为C(2，4)．又半径r＝|CA|＝， 则所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10． 法三：设圆心为C， ∵圆心在直线3x－y－2＝0上， 故可设圆心C的坐标为(a，3a－2)． 又∵|CA|＝|CB|， 故 ＝， 解得a＝2， ∴圆心为(2，4)，半径r＝|CA|＝． 故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10． 求圆的标准方程的方法 确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径． 一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷． 1．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的标准方程． 解：法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)． 于是有 解得 故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25． 法二：因为A(0，5)，B(1，－2)，所以线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率kAB＝＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝，即x－7y＋10＝0．同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0． 由得 圆心的坐标为(－3，1)， 又圆的半径长r＝＝5， 故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25． 二、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点M在圆内 |CM|＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 理解2　点与圆的位置关系的判断 【典例2】　如图，已知两点P1(4，9)和P2(6，3)． (1)求以P1P2为直径的圆的方程； (2)试判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外． 【解】　(1)设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C为P1P2的中点，得a＝＝5，b＝＝6． 又由两点间的距离公式得 r＝|CP1|＝＝， 故所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10． (2)由(1)知，圆心C(5，6)，则分别计算点到圆心的距离： |CM|＝＝； |CN|＝＝>； |CQ|＝＝3<． 因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内． 判断点与圆的位置关系的两种方法 1．几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． 2．代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． 2．已知圆M的圆心M(0，1)和三个点A(2，2)，B(1，8)，C(6，5)，求圆M的方程使A、B、C三点一个在圆内，一个在圆上，另一个在圆外． 解：∵|AM|＝＝， |BM|＝＝， |CM|＝＝， ∵|AM|＜|BM|＜|CM|， ∴取圆的半径r＝，此时圆的方程为x2＋(y－1)2＝50，A在圆内，B在圆上，C在圆外． 1．点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．在圆外　　　　　　 B．在圆上 C．在圆内 D．不确定 解析：A