第2章 空间向量与立体几何 章末总结-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

章末总结 专题一　空间向量的运算 空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加法的三角形法则和平行四边形法则，减法的几何意义，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的基表示和坐标表示是向量运算的基础． 【例1】　点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝，＝，则满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值分别为(　　) A．－，，　　　　 B．，－， C．－，，－ D．－，－， 【解析】　如图，M为PC的三等分点，取PC的中点E，连接NE，则＝－＝－(－)＝－(－)＝－＝－－(－＋＋)＝－－＋，故x＝－，y＝－，z＝，故选D． 【答案】　D [跟踪训练] 1．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 解：记＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1， 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴a·b＝b·c＝c·a＝. (1)||2＝(a＋b＋c)2 ＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a) ＝1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6， ∴||＝，即AC1的长为. (2)＝b＋c－a，＝a＋b， ∴||＝，||＝， ·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1， ∴cos 〈，〉＝＝. 即与夹角的余弦值为. 专题二　利用空间向量证明位置关系 利用向量法证明空间中的平行、垂直是指通过建立空间直角坐标系，把要证的空间中的平行与垂直问题转化为证明空间向量之间的平行与垂直问题．破解此类题的关键点如下． ①巧建系，即根据空间几何体的结构特征，找出交于一点且两两垂直的三条直线，从而建立空间直角坐标系． ②求坐标，即求出相关的点的坐标，进而求出相关直线的方向向量，再求出所需平面的法向量． ③会运算，即进行向量之间的坐标运算，验证两向量平行或垂直的条件是否成立． ④巧转化，即将向量之间的关系转化为要证的空间中的平行与垂直的关系． 【例2】　如图所示，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD，CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB＝4. (1)求证：DF∥平面BCE； (2)线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由． 【解】　(1)证明：在平面ABEF中，过A作Az⊥AB. 因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，又Az⊂平面ABEF，Az⊥AB，所以Az⊥平面ABCD，AD⊥Az，Az⊥AB.又∵AB⊥AD. 如图所示，以A为坐标原点，AD，AB，Az所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz. 由题意得，A(0，0，0)，B(0，4，0)，C(2，2，0)，D(2，0，0)，E(0，3，)，F(0，1，)． 所以＝(2，－2，0)，＝(0，－1，)，＝(－2，1，)． 设平面BCE的法向量为u＝(x0，y0，z0)， 则即 取y0＝1，则u＝(1，1，)为平面BCE的一个法向量． 所以·u＝(－2)×1＋1×1＋×＝0，所以⊥u. 因为DF⊄平面BCE，所以DF∥平面BCE. (2)线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF，理由如下． 连接AC，AE，由(1)知＝(2，2，0)，＝(0，3，)，＝(2，－2，0)，＝(0，－3，)． 设平面BCF的法向量为n＝(x，y，z)，则 即 令y＝1，则x＝1，z＝，所以n＝(1，1，)为平面BCF的一个法向量． 法一：设平面ACE的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则即 令y1＝1，则x1＝－1，z1＝－，所以m＝(－1，1，－)为平面ACE的一个法向量． 因为m·n≠0，所以平面ACE与平面BCF不可能垂直，所以线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF. 法二：假设线段CE上存在点G，使得AG⊥平面BCF，设＝λ，其中λ∈[0，1]． 设G(x2，y2，z2)，则有(x2－2，y2－2，z2)＝(－2λ，λ，λ)， 所以x2＝2－2λ，y2＝2＋λ，z2＝λ，从而G(2－2λ，2＋λ，λ)，所以＝(2－2λ，2＋λ，λ)． 因为AG⊥平面BCF，所以∥n. 所以有＝＝，无解，所以假设不成立． 所以线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF. [跟踪训练] 2.如图，在矩形ABCD中AB＝2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥平面ABCD. (1)求证：AQ∥平面CEP； (2)求证：平面AEQ⊥平面DEP. 证明：法一：向量法．(1)∵EP⊥矩形ABCD所在的平面，且P、Q均为AB，DC的中点，