第2章 空间向量与立体几何 章末达标测试(二)-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

章末达标测试(二) (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则a·(a＋3b)＝(　　) A．(0，34，10)　　　 B．(－3，19，7) C．44 D．23 解析：C　a＋3b＝(－3，2，5)＋3(1，5，－1)＝(0，17，2)，则a·(a＋3b)＝(－3，2，5)·(0，17，2)＝0＋34＋10＝44. 2．已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　　) A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4 C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1 解析：B　由题意可得，a＋2b＝(1＋2x，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)． ∵(a＋2b)∥(2a－b)， ∴∃λ∈R，使a＋2b＝λ(2a－b)， 得解得故选B． 3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为上底面A1B1C1D1的中心，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为(　　) A．1，1 B．1， C．， D．， 解析：C　＝＋＝＋(＋)＝＋＋，由空间向量基本定理知，x＝y＝. 4．已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：C　由于＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，而＝＋，则·＝[＋(＋)]·(＋)＝(＋)2＝1. 5．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：C　因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC＝90°， 所以可以以B为原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴构建空间直角坐标系， 如图所示，因为AB＝2，BC＝CC1＝1，所以A(2，0，0)，B1(0，0，1)，B(0，0，0)，C1(0，1，1)， 故＝(－2，0，1)，＝(0，1，1)， 设异面直线AB1与BC1所成角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝，故选C． 6．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　) A． B． C． D．3 解析：B　两平面的一个单位法向量＝(－，0，)，故两平面间的距离d＝＝. 7．在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝60°，则点C到平面PAB的距离是(　　) A． B． C． D． 解析：B　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，过A的平面ABC的垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(0，0，0)，C(0，4，0)， B(4，0，0)，P(0，4，4)， ∴＝(0，4，0)，＝(4，0，0)，＝(0，4，4)． 设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)， 则， 取z＝1，得n＝(0，－，1)为平面PAB的一个法向量， ∴点C到平面PAB的距离d＝＝＝.故选B． 8．已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与平面SBC所成的角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：B　设AE与平面SBC所成的角为θ，以底面中心O为原点，以射线OA为x轴，以射线OB为y轴，以射线OS为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设底面边长为，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，S(0，0，1)，E(0，，)，所以＝(－1，－1，0)，＝(0，1，－1)，＝(1，－，－)，设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，所以n＝(1，－1，－1)，因为cos(－θ)＝＝，所以cos θ＝.故选B． 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分) 9．已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，则下列说法正确的是(　　) A．∥　　　 B．⊥ C．||＝3 D．cos〈，〉＝－ 解析：CD　设a＝，b＝，则a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，＝(－2，－1，2)， 所以||＝3，a·b＝－1＋0＋0＝－1，|a|＝，|b|＝， 所以cos〈a，b〉＝＝＝. 10．下列命题中不正确的是(　　) A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件 B．若，共线，则AB∥CD C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A