3.1 条件概率与事件的独立性-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

3．1　条件概率与事件的独立性 3．1.1　条件概率 [素养目标]　1.通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义.2.掌握求条件概率的两种方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的问题.4.培养数学建模、逻辑推理、数学运算、数据分析的学科素养． 一、条件概率的定义 如果事件A，B是两个随机事件，且P(A)>0，则在事件A发生的条件下事件B发生的概率叫作条件概率，记为P(B|A)． 二、条件概率公式 1．一般地，在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率为：P(B|A)＝(P(A)>0)． 2．用n(A)，n(AB)分别表示A，AB中的样本点个数，则P(B|A)＝＝． 理解1　利用定义求条件概率 【典例1】　在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率． 【解】　设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB. 从5道题中不放回地依次抽取2道题的样本空间总数为A＝20.事件A所含样本点的总数为A×A＝12. 故P(A)＝＝.因为事件AB含A＝6个样本点． 所以P(AB)＝＝.所以在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为 P(B|A)＝＝＝. 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 1．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　) A．0.8　　　　　　　　 B．0.75 C．0.6 D．0.45 解析：A　设某天的空气质量为优良是事件B，随后一天的空气质量为优良是事件A，故所求概率为P(A|B)＝＝＝0.8. 理解2　缩小样本空间求条件概率 【典例2】　集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率． 【解】　将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个样本点，在这15个样本点中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个，所以所求概率P＝＝. 缩小样本空间法求概率的方法 将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的． 2．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”． (1)求P(A)，P(B)，P(AB)； (2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？ 解：(1)设x为掷红骰子得的点数，y为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件为(x，y)，建立一一对应的关系，由题意作图如图． 显然P(A)＝＝， P(B)＝＝，P(AB)＝. (2)法一：P(B|A)＝＝. 法二：P(B|A)＝＝＝. 理解3　条件概率的实际应用 【典例3】　有一批灯泡，寿命超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小时的概率为0.8，在寿命超过500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为________． 【解析】　记“寿命超过500小时”为事件A，“寿命超过800小时”为事件B，则所求事件为B|A，因为B⊆A，所以B∩A＝B，又P(A)＝0.9，P(BA)＝P(B)＝0.8，所以P(B|A)＝＝. 【答案】　 解决条件概率问题的关注点 (1)关键：理清条件和结论，建立条件概率模型； (2)注意：AB事件的含义； (3)公式：P(A|B)＝，P(B|A)＝. 3．某种元件用满6000小时未坏的概率是，用满10 000小时未坏的概率是.现有1个此种元件，已经用过6000小时未坏，求它能用到10 000小时的概率． 解：设事件A：用满10 000小时未坏，事件B：用满6000小时未坏，显然AB＝A， 所以P(A|B)＝＝＝＝. 1．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%，已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格的概率是(　　) A．　　 B．