第2章 空间向量与立体几何 章末总结(课件)-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

章末总结 1 知识结构 专题归纳 知识结构 1 知识结构 专题归纳 专题一　空间向量的运算 空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加法的三角形法则和平行四边形法则，减法的几何意义，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的基表示和坐标表示是向量运算的基础． 专题归纳 1 知识结构 专题归纳 D 1 知识结构 专题归纳 1 知识结构 专题归纳 [跟踪训练] 1．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. 1 知识结构 专题归纳 1 知识结构 专题归纳 1 知识结构 专题归纳 专题二　利用空间向量证明位置关系 利用向量法证明空间中的平行、垂直是指通过建立空间直角坐标系，把要证的空间中的平行与垂直问题转化为证明空间向量之间的平行与垂直问题．破解此类题的关键点如下． ①巧建系，即根据空间几何体的结构特征，找出交于一点且两两垂直的三条直线，从而建立空间直角坐标系． ②求坐标，即求出相关的点的坐标，进而求出相关直线的方向向量，再求出所需平面的法向量． 1 知识结构 专题归纳 ③会运算，即进行向量之间的坐标运算，验证两向量平行或垂直的条件是否成立． ④巧转化，即将向量之间的关系转化为要证的空间中的平行与垂直的关系． 1 知识结构 专题归纳 【例2】　如图所示，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD，CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB＝4. (1)求证：DF∥平面BCE； (2)线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由． 1 知识结构 专题归纳 【解】　(1)证明：在平面ABEF中，过A作Az⊥AB. 因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，又Az⊂平面ABEF，Az⊥AB，所以Az⊥平面ABCD，AD⊥Az，Az⊥AB.又∵AB⊥AD. 如图所示，以A为坐标原点，AD，AB，Az所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz. 1 知识结构 专题归纳 1 知识结构 专题归纳 1 知识结构 专题归纳 1 知识结构 专题归纳 1 知识结构 专题归纳 1 知识结构 专题归纳 [跟踪训练] 2.如图，在矩形ABCD中AB＝2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥平面ABCD. (1)求证：AQ∥平面CEP； (2)求证：平面AEQ⊥平面DEP. 1 知识结构 专题归纳 证明：法一：向量法．(1)∵EP⊥矩形ABCD所在的平面，且P、Q均为AB，DC的中点，∴PQ⊥AB，故以P为坐标原点，以PA，PQ，PE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建系如图所示．令AB＝2，PE＝a，则A(1，0，0)，Q(0，1，0)，E(0，0，a)，C(－1，1，0)． 1 知识结构 专题归纳 1 知识结构 专题归纳 1 知识结构 专题归纳 法二：传统法． (1)在矩形ABCD中，AP＝PB，DQ＝QC， ∴AP綊QC， ∴四边形AQCP为平行四边形，∴CP∥AQ. ∵CP⊂平面CEP，AQ⊄平面CEP，∴AQ∥平面CEP. 1 知识结构 专题归纳 (2)∵EP⊥平面ABCD，AQ⊂平面ABCD， ∴AQ⊥EP. ∵AB＝2BC，P为AB中点，∴AP＝AD. 连接PQ，则ADQP为正方形，∴AQ⊥DP. ∵EP∩DP＝P，∴AQ⊥平面DEP. ∵AQ⊂平面AEQ，∴平面AEQ⊥平面DEP. 1 知识结构 专题归纳 专题三　利用空间向量求空间角 用向量法求空间角一般是指先根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系，然后根据题设条件求得相关向量的坐标，最后利用空间向量的夹角公式求解．此种方法适用于已知空间几何体的棱长、某个角的角度及某条直线与某个平面的位置关系求空间角的模型．破解此类题的关键点如下． ①建系．根据几何体的结构特征与已知条件，找出两两垂直的三条直线，建立适当的空间直角坐标系． ②求向量．先分别求出几何体相关点的坐标，再利用“终减起”的运算方法求出直线的方向向量，利用赋值法求出平面的法向量等． 1 知识结构 专题归纳 1 知识结构 专题归纳 (1)求异面直线AF和BE所成的角； (2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值． 1 知识结构 专题归纳 1 知识结构 专题归纳 1 知识结构 专题归纳 1 知识结构 专题归纳 (1)求平面BDP与平面PAD所成角的大小； (2)若M是PB的中点，求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 1 知识结构 专题归纳 解：(1)取AD的中点O，设AC∩BD＝E，连接OP，OE. 因为PA＝PD，所以OP⊥AD， 又平面PAD⊥平面ABCD，且OP⊂平面P