5.5 三角函数模型的简单应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

5．5　三角函数模型的简单应用 [素养目标]　1．会用三角函数解决一些实际问题．　2．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 理解1　由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 ►【例1】　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的一部分，求此函数的解析式． 【解】　法一(逐一定参法)： 由题图图象知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2， ∴y＝3sin(2x＋φ)． ∵点在函数图象上，∴0＝3sin． ∴－×2＋φ＝2kπ，得φ＝＋2kπ(k∈Z)． ∵|φ|<，∴φ＝．∴y＝3sin． 法二(待定系数法)： 由题图图象知A＝3． ∵图象过点和， ∴解得∴y＝3sin． 法三(图象变换法)： 由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得， 所以y＝3sin 2，即y＝3sin． 已知图象求y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法 (1)如果从图象直接确定A和ω，再选取“第一个零点”(即五点作图法中的第一个)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一个点是“第一零点”)求得φ． (2)通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ．这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． (3)运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，根据图象平移规律可以确定相关的参数． 1．如图所示，它是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象，根据图中条件，写出该函数解析式． 解：由题图图象知A＝5．由＝－π＝，得T＝3π， ∴ω＝＝．∴y＝5sin． ∵点(π，0)在递减的那段曲线上， ∴＋φ∈(k∈Z)． 由3sin＝0，得＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)， ∴φ＝2kπ＋(k∈Z)． ∵|φ|<π，∴φ＝． 理解2　生活中的周期变化的模型 ►【例2】　下表是某地一年中10天的白昼时间统计表：(时间精确到0．1小时) 日期 1月1日 2月28日 3月21日 4月27日 5月6日 6月21日 8月13日 9月20日 10月25日 12月21日 日期位置序号x 1 59 80 117 126 172 225 263 298 355 白昼时间y/时 5．6 10．2 12．4 16．4 17．3 19．4 16．4 12．4 8．5 5．4 (1)以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图．(如图) (2)试选用一个函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系．(注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算) (3)用(2)中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15．9小时． 【解】　(1)散点图如图所示． (2)由图知白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系近似为y＝Asin(ωx＋φ)＋t(A>0，ω>0，|φ|<π)． 由题意知函数的最大值为19．4，最小值为5．4， 即ymax＝19．4，ymin＝5．4． 由19．4－5．4＝14，得A＝7． 由19．4＋5．4＝24．8，得t＝12．4． 又T＝365，∴ω＝． 当x＝172时，＋φ＝＋2kπ(k∈Z)． 又|φ|<π，∴φ＝－． ∴y＝7sin＋12．4(1≤x≤365，x∈N＋)， (3)由y>15．9，得sin>， ∴＋2kπ<－<＋2kπ(k∈Z)， 即＋365k<x<＋365k(k∈Z)， 又1≤x≤365，x∈N＋，∴111<x≤232． ∴该地大约有121天白昼时间大于15．9小时． 自建三角函数模型的基本步骤 2．如图所示，为一个缆车示意图，该缆车半径为4．8 m，圆上最低点与地面的距离为0．8 m，60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面距离是h． (1)求h与θ之间的函数解析式； (2)设从OA开始转动，经过t s后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少． 解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－， 故点B坐标为(4．8cos，4．8sin)． ∴h＝5．6＋4．8sin． (2)点A在圆上转动的角速度是，故t s转过的弧度数为．∴h＝5．6＋4．8sin，t∈[0，＋∞)． 到达最高点时，h＝10．4 m． 由sin＝1，得t－＝，∴t＝30． ∴缆车到达最高点时，用的最少时间是30 s． 　 三角函数的常见应用类型 (1)三角函数在物体简谐运动问题中的应用． 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来