5.4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

5．4　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 第一课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 [素养目标]　1．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．　2．理解φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．　3．掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系． 1．A(A>0)对y＝Asin x图象的影响 一般地，对任意A>0且A≠1，函数y＝Asin x的图象可以由y＝sin x的图象上每一点的横坐标不变，纵坐标乘以A得到．y＝Asin x的周期仍是2π，值域为[－A，A]，最大值是A，最小值是－A． 2．ω(ω>0)对y＝sin ωx图象的影响 一般地，对任意ω>0且ω≠1，函数y＝sin ωx的图象可由y＝sin x的图象上每一点的纵坐标不变、横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的而得到．y＝sin ωx的值域为[－1，1]，周期为． 3．φ对y＝sin(x＋φ)图象的影响 一般地，y＝sin(x＋φ)(x∈R，常数φ≠0)的图象可以由y＝sin x的图象向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平移|φ|个单位长度得到． 4．函数y＝sin x的图象与y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象关系 正弦曲线y＝sin x到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程：y＝sin x的图象y＝sin(x＋φ)的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象． 理解1　图象变换法求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式、图象 ►【例1】　(1)把函数y＝f(x)的图象上的各点向右平移个单位长度，然后把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，求f(x)的解析式． 【解】　将y＝2sin的纵坐标扩大到原来的倍，得到y＝3sin，将横坐标缩小到原来的倍，得y＝3sin，将横坐标向左平移个单位，得 y＝3sin＝3sin＝3cos x， ∴f(x)＝3cos x． (2)函数y＝5sin＋1的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 【解】　法一 (先平移后伸缩) ：将函数y＝sin x的图象依次进行如下变换： ①把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象； ②把得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象； ③把得到的图象上各点的纵坐标变为原来的5倍(横坐标不变)，得到函数y＝5sin的图象； ④把得到的图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝5sin＋1的图象． 经过上述变换，就得到函数y＝5sin＋1的图象． 法二(先伸缩后平移) ：将函数y＝sin x的图象依次进行如下变换： ①把函数y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 2x的图象； ②把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象； ③把得到的图象上各点的纵坐标变为原来的5倍(横坐标不变)，得到函数y＝5sin的图象； ④把得到的图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝5sin＋1的图象． 经过上述变换，就得到函数y＝5sin＋1的图象． 已知“变换”写解析式，就按照变换过程，逐步变换已知解析式求变换，首先看准由哪个解析式要得到哪个解析式．当由y＝sin x先平移得到y＝sin(x＋φ)时平移|φ|单位；当y＝sin ωx得到y＝sin(ωx＋φ)时，平移单位，若不是同名函数应先化为同名函数． 1．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　) A．y＝sin　 B．y＝sin C．y＝sin(x－) D．y＝sin(x－) 解析：选C　先将y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到y＝sin的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图象． 2．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 解析：选D　曲线C1可化为y＝sin，将C1上各点横坐标缩短到原来的倍，可得函数的解析式为y＝sin，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位可得曲线C2的解析式为y＝sin＝sin，故选D． 理解2　y＝Asin(ωx＋φ)与