1.7 平面向量的应用举例-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

1．7　平面向量的应用举例 [素养目标]　1.通过学习，会用向量解决力学问题、运动速度问题．　2.体会向量解决实际问题的工具性作用．　3.通过实例培养学生数学建模、逻辑推理、数学抽象、数学运算的学科素养． 一、向量在平面几何中的应用 1．平面几何中的许多问题：如线段长度(距离)、夹角、平行、垂直、点共线等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来． (1)要证明两线段AB＝CD．可转化为证明：2＝2； (2)要证明两线段AB∥CD，可转化为证明：存在一实数λ≠0，使＝λ成立； (3)要证明两线段AB⊥CD，可转化为证明：·＝0. (4)要证A、B、C三点共线，可转化为证明：存在一实数λ≠0，使＝λ；或若＝a，＝b，＝c，则只要证明存在一个实数t，使c＝ta＋(1－t)b． 2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 二、向量在物理中的应用 1．向量的物理背景 (1)向量是即有大小又有方向的量，物理学中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量． (2)物理学中相关知识与向量的联系． ①力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成； ②动量mv是数乘向量； ③功W是力F与所产生的位移s的数量积． 2．利用向量解决物理问题的基本步骤 (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题； (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型； (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中． 用向量知识解决物理问题时，要注意数形结合．一般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值． 理解1　向量在平面几何计算问题中的应用 ►【典例1】　如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，求ED的长． [解]　以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，)，C(3，)，D(3，0)，＝(3，)， 设＝λ，则E的坐标为(3λ，λ)， 故＝(3λ，λ－) 因为BE⊥AC，所以·＝0， 即9λ＋3λ－3＝0 解得λ＝，所以E， 故＝，||＝， 即ED＝. 用向量方法求长度的策略 (1)利用图形特点选择基，向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解． (2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. 1.如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 解：设＝a，＝b，则＝a－b， ＝a＋b， 而||＝|a－b|＝＝＝＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝， 又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6， ∴||＝，即AC＝. 理解2　向量在平面几何证明问题中的应用 角度1　平行或共线问题 ►【典例2】　如图，在平行四边形ABCD中，已知DE＝AB，DF＝DB，求证：A，E，F三点共线． [证明]　因为DE＝AB，DF＝DB， 所以＝，＝＝. 于是＝－＝－ ＝＋＝＝－， 因此∥， 又因为，有公共点F，所以A，E，F三点共线． 角度2　垂直问题 ►【典例3】　如图所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，试用向量证明：AC⊥BD． [证明]　法一：∵＝＋， ＝－，∴·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0. ∴⊥，即AC⊥BD． 法二：如图，以BC所在直线为x轴，以B为原点建立平面直角坐标系，则B(0，0)． 设A(a，b)，C(c，0)，则＝(a，b)，＝(c，0)． 由||＝||，得a2＋b2＝c2. ∵＝－＝(c，0)－(a，b)＝(c－a，－b)，＝＋＝(a，b)＋(c，0)＝(c＋a，b)， ∴·＝c2－a2－b2＝0. ∴⊥，即AC⊥BD． 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤： ①选取基；②用基表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化． (2)向量的坐标运算法的四个步骤： ①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化． 2.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明：法一：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0， 又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋， 所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，