1.6 解三角形-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

1．6　解三角形 1．6.1　余弦定理 [素养目标]　1.借助向量的运算，探索三角形边长与角的关系，掌握余弦定理．　2.能用余弦定理解决简单的实际问题．　3.培养学生逻辑推理、数学运算、数学抽象的学科素养． 一、三角形的元素及解三角形 三角形的三条边和三个角是三角形最基本的六个元素，从已知三角形的某些元素出发求这个三角形其他元素的过程叫作解三角形． 二、余弦定理　 文字语言 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 符号语言 a2＝b2＋c2－2bccos_A， b2＝c2＋a2－2cacos_B， c2＝a2＋b2－2abcos_C 推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝ 理解1　已知两边及一角解三角形 角度1　已知两边及其夹角解三角形 ►【典例1】　(1)在△ABC中，cos C＝－，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　) A．4　 B．　　 C．　 D．2 [解析]　由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝1＋25－2×1×5×＝32，∴AB＝4. [答案]　A (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝(　　) A．4 B． C．3 D． [解析]　cos C＝－cos(A＋B)＝－.又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×＝17. 所以c＝. [答案]　D 角度2　已知两边和其中一边的对角解三角形 ►【典例2】　(1)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　) A． B． C．2 D．3 [解析]　由余弦定理得5＝22＋b2－2×2bcos A， 因为cos A＝，所以3b2－8b－3＝0， 所以b＝3或b＝－(舍去)． [答案]　D (2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，则角C＝________． [解析]　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得32＝a2＋(3)2－2a·3·cos 30°， 所以a2－9a＋18＝0，得a＝3或6. 当a＝3时，A＝30°，所以C＝120°. 当a＝6时， 因为32＋(3)2＝9＋27＝36＝62. 所以A＝90°，所以C＝60°. [答案]　60°或120° 解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤 (1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． 1．在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形． 解：根据余弦定理得， b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)·cos 45°＝8， 所以b＝2. 又因为cos A＝ ＝＝， 因为A∈(0°，180°) 所以A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°. 理解2　已知三边解三角形 ►【典例3】　(1)在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝，则最大角与最小角的和为(　　) A．90°　 B．120°　 　 C．135°　 D．150° [解析]　在△ABC中，因为a＝3，b＝5，c＝， 所以最大角为B，最小角为A， 所以cos C＝＝＝.所以C＝60°，所以A＋B＝120°，所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°.故选B． [答案]　B (2)在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A＝(　　) A．90° B．60° C．120° D．150° [解析]　因为(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝.因为A∈(0°，180°)，所以A＝60°. [答案]　B 已知三角形的三边解三角形的方法及注意事项 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． [注意]　若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解． 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是(　　) A．45° B．60° C．90° D．135° 解析：选A．由已知得a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝＝.又0°＜B＜180°，所以B＝45°. 3．在△ABC中，若a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC的最大内角的余弦值． 解：因为a∶b∶c＝2∶∶(＋1)， 不妨设a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k， 显然a＜b＜c. 所以△ABC的最大内角为C， 则cos C＝ ＝ ＝＝＝. 理解3　利用余弦定理判断三角形的形状 ►【典例4】　在△