1.1 向量-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

1．1　向量 [素养目标]　1.通过实际背景抽象出向量的特征，总结向量的概念；体会向量的表示方法，认识相等向量与相反向量．　2.结合实例，培养学生用数学的语言表达世界的能力，提升数学抽象，直观想象的学科素养． 一、质点、位置、位移、有向线段 在物理学中，研究物体运动时，常常忽略物体的大小，把它当作一个质点，用点表示它的位置．质点位置的改变称为位移．具有方向的线段，称为有向线段． 二、向量的定义 既有大小又有方向的量，称为向量．如位移、速度、力等都可以用向量来描述． 三、向量的表示方法 1．向量的表示：向量用粗体字母(印刷)或在字母上方标箭头(书写)来表示，如向量a，b，F.也可以用有向线段来表示，例如：，，. 2．向量的模：向量a的大小，也就是向量a的长度，称为a的模，记作|a|.向量的模也可以用有向线段的长度来表示，记作||，表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向． 3．零向量：长度为0的向量叫作零向量，记作0. 理解1　向量的概念 ►【典例1】　(1)下列说法中正确的是(　　) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 [解析]　不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确． [答案]　D (2)下列说法中 ①由于0方向不确定，故零向量与零向量是两个不同的向量；②时间、摩擦力、重力都是向量；③有向线段和相同；④若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上． 其中不正确命题的序号为________． [解析]　模为零的向量都是零向量，故①不正确．时间不是向量，故②不正确．③与不同，因为方向不同，③不正确．单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故④正确． [答案]　①②③ 解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向与长度，只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．零向量的核心是长度为零，方向没有限制． 1．汽车以大小为120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以大小为45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列说法正确的是(　　) A．汽车的速度大于摩托车的速度 B．汽车的位移大于摩托车的位移 C．汽车走的路程大于摩托车走的路程 D．以上都不对 解析：选C．因为向量不能比较大小，所以选C． 2．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．只有零向量的模等于0 B．向量的长度等于向量的长度 C．直角坐标平面上的x轴、y轴是向量 D．方向相反的向量其终点一定不同 答案：AB 四、向量的相等 1．相等向量：方向相同、长度相等的向量称为相等向量． 向量与相等，记作＝. 我们约定，所有零向量相等，零向量可以是任意方向． 2．相反向量：长度相等，方向相反的向量a，b称为相反向量，记作b＝－a，如果b＝－a，则a＝－b. 理解2　相等向量与相反向量 角度1　概念辨析 ►【典例2】　给出下列命题： ①若b是a的相反向量，则a和b的长度必相等； ②若b是a的相反向量，则a与 b一定不相等； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④若a是b的相反向量，那么b也是a的相反向量． 其中正确命题的序号是________． [解析]　由相反向量的概念可知①④正确．因为0的相反向量是0，故②错误．③正确，对于一个向量只要不改变其大小和方向，无论起点移动到哪里都是相等向量． [答案]　①③④ 角度2　相等向量与相反向量的找法 ►【典例3】　如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点． (1)写出与相反的向量； (2)写出与的模相等的向量； (3)写出与相等的向量． [解]　(1)因为E、F分别是AC、AB的中点，所以EF綊BC，又因为D是BC的中点，所以的相反向量有，，. (2)与模相等的向量有，，，，. (3)与相等的向量有与. 相等向量与相反向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是方向相同的． (2)寻找相反向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些方向是相反的． 3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对？ 解：由已知得AM＝MB＝BC＝CN＝ND＝DA＝MN，所以相等向量有＝＝＝，共有12对， ＝＝，共有6对． ＝，共有2对，＝，共有2对，＝，共有2对，所以共有24对． 理解3　向量的