1.3 向量的数乘(课件)-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

* 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 1．3　向量的数乘 [素养目标]　1.了解向量数乘的概念，并理解数乘运算的几何意义．　2.理解向量共线的概念，掌握向量共线的充要条件，会判断或证明两个向量共线．　3.理解并掌握向量的数乘运算律，会进行向量的数乘运算．　4.培养数学抽象、数学运算和逻辑推理素养． * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 理 解 应 用 * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 向量 λa |λ||a| 同向 反向 0 0 一、.向量的数乘运算 1．定义：一般地，实数λ与向量a的乘积是一个_________，记作： _________，称为a的λ倍，这种求向量实数倍的运算称为向量的数乘，它的长度|λa|＝_________. (1)当λ≠0且a≠0时，λa的方向 (2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0a＝_________或λa＝λ0＝_________． * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 2．数乘运算律 一般地，设x，y为任意实数，a，b为任意向量，则有 (1)(x＋y)a＝_________； (2)x(ya)＝_________； (3)x(a＋b)＝_________． 3．线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是_________．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝_____________． xa＋ya (xy)a xa＋xb 向量 λμ1a±λμ2b * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 理解 理解1　向量的线性运算 ►【典例1】　(1)计算： ①4(a＋b)－3(a－b)－8a； ②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)； ③. (2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)． * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 [解]　(1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a ＝－7a＋7b. ②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c ＝－a－c. ③原式＝ ＝ ＝a－b. * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 (2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a ＝a＋b ＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j) ＝i＋j＝－i－5j. * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 向量的线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． 思维 升华 · * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 答案：0 应用 1．化简(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝________． 解析：原式＝a－b－a－b＋a＋b＝a＋b＝0a＋0b＝0＋0＝0. * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 2．若2－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，求未知向量x. 解：因为2x－a－b－c＋x＋b＝0， 所以x－a＋b－c＝0， 所以x＝a－b＋c， 所以x＝a－b＋c. * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 理解2　用已知向量表示其他向量 ►【典例2】　(1)如图，已知ABCD是一个梯形，∥且||＝ 2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量． ①＝________； ②＝________． * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 [解析]　因为∥，||＝2||， 所以＝2，＝. ①＝＋＝e2＋e1. ②＝＋＋＝－－＋ ＝－e1－e2＋e1＝e1－e2. [答案]　①e2＋e1　②e1－e2 * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 (2)已知在▱ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点．若＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，. * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 [解]　∵＝＋＝＋， ∴e2＝＋，　① 又∵＝＋＝＋， ∴e1＝＋，　② * 课时规范 训练 拓 展 交 流 理 解 应 用 由①②得＝e2－e1， ∴是△AMN中BC边上的中线， ∴＝＋＝e1＋e2. *