4.2.3 二项分布与超几何分布-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（人教B版）

4．2．3　二项分布与超几何分布 1．理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些实际问题，重点提升数学建模、数学运算核心素养． 2．理解超几何分布，能区别超几何分布和二项分布，并能综合应用，重点提升数学运算核心素养． 　n次独立重复试验与二项分布 1．研究抛掷硬币的规律时，需要做大量的抛掷硬币的试验，在n次重复掷硬币的过程中， (1)各次掷硬币试验中的事件是否是相互独立的？ (2)每次掷硬币试验都有几种结果？ (3)每次试验，某事件发生的概率是否是相同的？ 提示：(1)各次试验中的事件是相互独立的．(2)每次试验都只有两种结果：正面向上或反面向上．(3)每次试验，某事件发生的概率是相同的． 2．在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0．8．用Ai(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这件事，用B1表示仅投中1次这件事． (1)如何用事件Ai表示事件B1? (2)由问题(1)的提示，试求P(B1)的值； (3)用Bk表示投中k次这件事，则P(B2)和P(B3)的值为多少？ 提示：(1)B1＝(A123)∪(1A23)∪(12A3)． (2)因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0．8，且A123，1A23，12A3两两互斥，故P(B1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3)＝0．8×0．22＋0．8×0．22＋0．8×0．22＝3×0．8×0．22＝0．096． (3)P(B2)＝3×0．2×0．82＝0．384，P(B3)＝0．83＝0．512． 1．n次独立重复试验 (1)在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验． (2)在n次独立重复试验中，人们经常关心的是“成功”出现的次数． 2．二项分布 (1)一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0,1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0,1，…，n． (2)X的分布列如下： X 0 1 … k … n P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0 注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)． [点睛] 两点分布与二项分布的关系 两点分布 二项分布 区别 每次试验只有两种结果，这两种结果是对立的，即要么发生，要么不发生 每次试验只有两种结果，这两种结果是对立的，即要么发生，要么不发生，但在n次独立重复试验中共有(n＋1)种结果 联系 两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式，二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布 　超几何分布 某校组织一次认识大自然的夏令营活动，有10名同学参加，其中6名男生，4名女生，现要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本． (1)抽取的人中恰好有1名女生的概率是多少？ (2)设抽取的人中女生有X名，写出X的分布列． 提示：(1)P＝＝． (2)X的取值范围{0,1,2,3}，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝．P(X＝2)＝＝．P(X＝3)＝＝． X的分布列为 X 0 1 2 3 P 超几何分布 一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M＜N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且 P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，…，s，这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布，记作X～H(N，n，M)．特别地，如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表所示． X 0 1 … k … s P … … [点睛] 1．二项分布与超几何分布的区别 若有N件产品，其中M件是次品，无放回地任意抽取n件，则其中恰有的次品件数X是服从超几何分布的；若有N件产品，其中M件是次品，有放回地任意抽取n件，则其中恰有的次品件数X是服从二项分布的．在这里，两种分布的差别就在于“有放回”与“无放回”的差别． 2．二项分布与超几何分布的联系 在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多、无放回与有放回无区别，故可看