4.7 数学建模活动：生长规律的描述-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教B版）

4．7　数学建模活动：生长规律的描述 数学问题一直是数学发展的重要源泉，解决实际问题也一直是数学价值的重要体现．解决实际问题的重要手段就是数学建模．数学建模是一个重要的核心素养． 1．数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的素养．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题． 数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题． 2．数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力． 3．通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，感悟数学与现实之间的关联，学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学建模在解决科学、社会、工程技术等问题中的作用；加深对数学内容的理解；学会交流与合作；提升应用能力，增强创新意识和科学精神． (一)数学模型检验 【建模示例1】　某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表： 投资A种商品 金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润 (万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B种商品 金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)． 【尝试解答】　以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示． 观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y万元与投资额x万元之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示． 取(4，2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1，0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15， 所以y＝－0.15(x－4)2＋2. B种商品所获纯利润y万元与投资额x万元之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟， 如图②所示． 设y＝kx＋b，取点(1，0.25)和(4，1)，代入得 解得所以y＝0.25x. 即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x.设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，那么 所以W＝－0.15＋0.15×＋2.6. 当xA＝≈3.2(万元)时，W取最大值，约为4.1万元，此时xB＝8.8(万元)． 即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润为4.1万元． 1.根据原始数据、表格，绘出散点图． 2．通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线． 3．求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． 4．利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 下表是某款车的车速与刹车后的停车距离，试分别就y＝a·ekx，y＝axn，y＝ax2＋bx＋c三种函数关系建立数学模型，并探讨最佳模拟，根据最佳模拟求车速为120 km/h时的刹车距离． 车速/(km/h) 10 15 30 40 50 停车距离/m 4 7 12 18 25 车速/(km/h) 60 70 80 90 100 停车距离/m 34 43 54 66 80 解：若以y＝a·ekx为模拟函数，将(10，4)，(40，18)代入函数关系式，得 解得 ∴y＝2.4228e0.050 136x. 以此函数式计算车速为90 km/h，100 km/h时，停车距离分别约为220.8 m，364.5 m，与实际数据相比，误差较大． 若以y＝a·xn为模拟函数，将(10，4)，(40，18)代入函数关系式，得 解得 ∴y＝0.3289x1.085. 以此函数关系计算车速为90 km/h，100 km/h时，停车距离分别为43.39 m，48.65 m，与实际情况误差也较大． 若以y＝ax2＋bx＋c为模拟函数，将(10，4)，(40，18)，(60，34)代入函数式，得 解得 ∴y＝x2＋x＋2. 以此函数解析式计算车速为90 km/h，100 km/h时，停车距离分别为68 m，82 m，与前两个相比，它较符合实际情况． 当x＝120 km/h时，y