4.3 指数函数与对数函数的关系-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教B版）

4．3　指数函数与对数函数的关系 [素养目标]　1.了解反函数的定义，知道y＝ax与y＝logax互为反函数，发展数学抽象核心素养． 2．掌握互为反函数的图象关于y＝x对称，提升直观想象核心素养． 　反函数的定义 反函数的定义 一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．此时，称y＝f(x)存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数y＝f(x)的反函数的表达式，可以通过对调y＝f(x)中的x与y，然后从x＝f(y)中求出y得到．函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x)． 　反函数的性质 反函数的常用性质 (1)原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域． (2)互为反函数的图象关于直线y＝x对称；图象关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数． (3)互为反函数的两函数单调性一致． (4)f[f－1(x)]＝x，f－1[f(x)]＝x． [预习诊断] 1．函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域为(　　) A．不确定　　　　　 B．(0，1) C．R D．(0，＋∞) 解析：由反函数的性质知选D． 答案：D 2．(多选)在同一直角坐标系下，函数y＝ax与y＝logax(a＞0，a≠1)的大致图象如图所示，则实数a的可能值为(　　) A． B． C． D． 解析：由图象可知a＞1且a2＜loga2. ＝＞2＝log＞log2，故A错误． ＝＜2＝log＜log2，故B正确． ＝＜2＝log＜log2，故C正确． ＝＞2＝log＞log2，故D错误． 综上，选BC． 答案：BC 3．函数y＝－2x的反函数为________． 解析：由y＝－2x对调其中的x和y得x＝－2y，解得y＝log2(－x)． 答案：f－1(x)＝log2(－x) 4．已知f(x)＝2x＋b的反函数为f－1(x)，若y＝f－1(x)的图象过点(5，2)，则b的值为________． 解析：依题意得y＝f(x)的图象过点(2，5)，即22＋b＝5，∴b＝1. 答案：1 　求反函数(小组探究) 　(课本例1拓展)求下列函数的反函数． (1)y＝log(x－1)； (2)y＝0.2x＋1(x≤1)； (3)y＝2x＋1. 【尝试解答】　(1)由y＝log(x－1)， 得x－1＝，∴x＝＋1， 对换x，y得y＝＋1， ∴y＝log(x－1)的反函数是y＝＋1(x∈R)． (2)由y＝0.2x＋1得x＝log0.2(y－1)， 对换x，y得y＝log0.2(x－1)． ∵原函数中x≤1，∴y≥1.2， ∴反函数的定义域为[1.2，＋∞)， 因此y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数是 y＝log0.2(x－1)，x∈[1.2，＋∞)． (3)由y＝2x＋1，得x＝(y－1)， 对换x，y得y＝x－， 又x∈R时y∈R， ∴y＝2x＋1的反函数是y＝x－(x∈R)． 1．如果函数y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f－1(x)一定存在． 2．求函数y＝f(x)反函数的步骤． (1)由y＝f(x)对调其中的x和y并解出y.(用x表示)． (2)求y＝f(x)的值域． (3)写出反函数y＝f－1(x)并注明定义域． 1．函数y＝x2＋1(x≥0)的反函数为________． 解析：由y＝x2＋1(x≥0)知y≥1. 由y＝x2＋1对调x和y即x＝y2＋1.又y≥0. ∴y＝，即反函数为f－1(x)＝(x≥1)． 答案：f－1(x)＝(x≥1) 　反函数性质的应用(变通探究) 　(课本例2拓展)已知函数f(x)＝ax＋b的图象过(1，7)，其反函数f－1(x)的图象过点(4，0)，则f(x)的表达式为(　　) A．4x＋3　　　　　 B．3x＋4 C．5x＋2 D．2x＋5 【尝试解答】　∵f(x)的反函数图象过点(4，0)，∴f(x)的图象过点(0，4)， 又f(x)＝ax＋b的图象过点(1，7)， 所以有方程组 ∴a＝4且b＝3，故f(x)的表达式为4x＋3. 答案：A 【变式拓展】 变式　函数y＝4x＋3与函数y＝log4(x－3)(x＞3)的图象之间有什么关系？ 解：∵y＝4x＋3与y＝log4(x－3)是互为反函数． ∴二者的图象关于直线y＝x对称． 若点P(m，n)在函数y＝f(x)(或在反函数y＝f－1(x))的图象上，则点P′(n，m)在反函数y＝f－1(x)(或在函数y＝f(x))的图象上，利用这种对称性去解题，常常可以避开求反函数的解析式，从而达到简化运算的目的． 2．若函数y＝f(x)的图象过点(－1，3)，则其反函数y＝f－1(x)的图象一定过点________． 解析：∵函数y＝f(x)与