4.1.2 第1课时 指数函数的图象与性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教B版）

4．1.2　指数函数的性质与图象 第1课时　指数函数的图象与性质 [素养目标]　1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念，重点发展数学抽象核心素养． 2．掌握指数函数的图象与性质，初步学会运用指数函数解决简单问题，重点提升直观想象、数学运算核心素养． 　指数函数的定义 一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1，x是自变量． 　指数函数的图象与性质 指数函数的图象与性质 图 象 a＞1 0＜a＜1 性 质 定义域R，值域(0，＋∞) 图象都过点(0，1) 当x＞0时，y＞1； x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； x＜0时，y＞1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 y＝ax与y＝a－x的图象在同一坐标系中关于y轴对称 设x1，x2∈R，则f(x1＋x2)＝f(x1)·(x2) 指数函数f(x)＝ax中为什么要限定a＞0且a≠1 提示：(1)如果a＝0时，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义． (2)如果a＜0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，…，在实数范围内函数值不存在． (3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，无研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1. [预习诊断] 1．下列各函数中，是指数函数的是(　　) A．y＝(－2)x　　　 B．y＝－3x C．y＝41－x D．y＝ex 解析：根据指数函数的概念知，y＝ex是指数函数． 答案：D 2．函数y＝的图象可能是(　　) 解析：因为＞1，图象经过点(0，1)，所以y＝的图象可能是选项A的图象． 答案：A 3．函数y＝(2m－5)x是指数函数，则实数m的取值范围是________． 解析：由题意知解得m＞且m≠3. 答案：∪(3，＋∞) 4．指数函数f(x)的图象过点，则f(2)＝______． 解析：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)． 因为f(x)的图象过点， 所以a－3＝，a3＝8，故a＝2， 所以f(x)＝2x，所以f(2)＝22＝4. 答案：4 　指数函数概念的应用(小组探究) 　(1)若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　) A．a＝1或2 B．a＝1 C．a＝2 D．a＞0且a≠1 (2)指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)·f(2)等于________． 【尝试解答】　(1)由指数函数的定义得解得a＝2. (2)设y＝f(x)＝ax(a＞0，a≠1)， 所以a－2＝，所以a＝2， 所以f(4)·f(2)＝24×22＝64. 答案：(1)C　(2)64 判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax（a＞0，且a≠1）这一结构形式，其特征如下： 1．已知指数函数图象经过点P(－1，3)，则f(3)＝________． 解析：设指数函数为f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，由题意得a－1＝3，解得a＝， 所以f(x)＝，故f(3)＝＝. 答案： 　指数函数的图象问题(变通探究) 　(1)如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A．a＜b＜1＜c＜d　　 B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c (2)已知函数f(x)＝2x，则f(1－x)的图象为(　　) 【尝试解答】　(1)法一：当指数函数的底数大于1时，图象上升，且在第一象限内，底数越大，图象越靠近y轴；当底数大于0且小于1时，图象下降，且在第一象限内，底数越小，图象越靠近x轴．故可知b＜a＜1＜d＜c，故选B． 法二：令x＝1，由图知c1＞d1＞a1＞b1， ∴b＜a＜1＜d＜c，故选B． (2)f(1－x)＝21－x＝，其图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位得到． 答案：(1)B　(2)B 【变式拓展】 变式1　本例(2)变为：作出y＝f(|x|)的图象，并指出其单调区间． 解：y＝f(|x|)＝2|x|，知为偶函数，先作出x≥0时y＝2x的图象，再关于y轴对称即可． 单调增区间(0，＋∞)，单调减区间(－∞，0)． 变式2　本例(2)变为：函数f(x)＝1＋ax－2(a＞0且a≠1)，则其恒过定点________． 解析：令x－2＝0，得x＝2，此时f(2)＝1＋1＝2，所以函数f(x)的图象恒过定点(2，2)．也可以看作由y＝ax的图象先向上平移1个单位，再向右平移2个单位得到，故定点(0，1)移动至点(2，2)． 答案：(2，2) 　处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图