2.5.2 圆与圆的位置关系-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

2．5.2　圆与圆的位置关系 学习目标 1．了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法．(重点) 3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．(难点) 知识点　圆与圆位置关系的判定 1．几何方法：设两圆半径分别为r1、r2，圆心距离为d，则两圆的位置关系如表所示： 两圆位 置关系 图形情况 d与r1、r2的关系 外离 d＞r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r2－r1|＜d＜r1＋r2 内切 d＝|r2－r1| 内含 0＜d＜|r2－r1| 2.代数方法：设两圆方程分别为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，联立方程得 方程组有两组不同的实数解⇔两圆相交；有一组实数解⇔两圆相切；无实数解⇔两圆外离或内含． 设r1，r2分别为圆C1、圆C2的半径，当r1＝r2时，两圆不会出现内切或内含的情况．若两圆的圆心距d＝0且r1＝r2，则两圆重合． [微练1]　圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　) A．内切　　　　　　　 B．相交 C．外切 D．相离 解析：B　由题意知两圆的圆心距为＝，r1＋r2＝2＋3＝5， |r1－r2|＝|2－3|＝1， 而1＜＜5，故两圆相交． [微练2]　集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是______． 解析：∵A∩B中有且仅有一个元素， ∴圆x2＋y2＝4与圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2相切． 当两圆内切时， ＝|2－r|，解得r＝7. 当两圆外切时， ＝2＋r，解得r＝3. 答案：3或7 题型一　判断两圆的位置关系 　(1)(2022·广东广州真光中学高二月考)圆C1：(x－2)2＋(y－4)2＝9与圆C2：(x－5)2＋y2＝16的公切线的条数为(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：圆C1的圆心为(2，4)，半径R＝3，圆C2的圆心为(5，0)，半径r＝4，圆心距|C1C2|＝＝5，则有r－R＜|C1C2|＜r＋R，所以两圆相交，所以两圆有2条公切线． 答案：B (2)(2022·山西运城高中联合体高二期中)设a＞0，若圆M：x2－6x＋y2－2y＋9＝0与圆N：x2－2ax＋y2＋2y＋1＝0相交，则实数a的取值范围为(　　) A．(，3) B．(3，＋∞) C．(0，) D．(0，3) 解析：根据题意，圆M：x2－6x＋y2－2y＋9＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝1，其圆心M(3，1)，半径R＝1. 圆N：x2－2ax＋y2＋2y＋1＝0，即(x－a)2＋(y＋1)2＝a2，其圆心N(a，－1)，半径r＝|a|＝a. 若圆M与圆N相交，则有|a－1|＜＜a＋1，解得＜a＜3，即实数a的取值范围为(，3)．故选A． 答案：A 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系． 1．(2022·黑龙江哈师大附中高二月考)设r＞0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是(　　) A．相切 B．相交 C．内切或内含 D．外切或外离 解析：D　两圆的圆心距d＝＝，两圆的半径之和为r＋4.因为＜r＋4，所以两圆不可能外切或外离．故选D． 2．(2022·上海浦东新区高二期中)两内切圆的半径是方程x2＋px＋q＝0的两根，已知两圆的圆心距为1，其中一圆的半径为3，则p＋q＝(　　) A．2或4 B．4 C．1或5 D．5 解析：C　根据题意，设两个圆的半径分别为R，r，且R＝3，则有|R－r|＝1，解得r＝2或4. 由R，r是方程x2＋px＋q＝0的两根，得 当r＝2时，p＝－5，q＝6，此时p＋q＝1； 当r＝4时，p＝－7，q＝12，此时p＋q＝5， 故p＋q＝1或p＋q＝5.故选C． 题型二　相交弦及圆系方程 　已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 解：(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A，B两点坐标是方程组 的解． ①－②，得x－y＋4＝0. ∵A，B两点的坐标都满足此方程， ∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程． 又圆C1的圆心(－3，0)，r＝， ∴C1到直线AB的距离d＝＝， ∴|AB