2.5.1 直线与圆的位置关系-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2．5.1　直线与圆的位置关系 学习目标 1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(重点) 2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(难点) 知识点　直线与圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断： 位置关系 相交 相切 相离 判断方法 几何法：设圆心到直线的距离 d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程，并求得其判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 [微练1]　直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　) A．相切　　　　　 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 解析：B　∵圆心(0，0)到直线y＝x＋1的距离为d＝＜1， ∴直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1相交， 又(0，0)不在直线y＝x＋1上， ∴直线不过圆心． [微练2]　直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为(　　) A．0或2 B．2 C． D．无解 解析：B　由题意得，圆心(0，0)到直线x＋y＋m＝0的距离为(m＞0)，即d＝＝，解得m＝2. 题型一　直线与圆位置关系的判断 　(1)(一题多解)(2022·四川蓉城高中教育联盟高二期中联考)已知直线l：kx－y＋k－1＝0，圆O：x2＋y2＝3，则直线l与圆O的位置关系是(　　) A．相交　　　　　 B．相切 C．相离 D．无法确定 解析：方法一：因为直线l的方程为kx－y＋k－1＝0，即k(x＋1)＋(－y－1)＝0，令解得即直线l过定点(－1，－1)．因为(－1)2＋(－1)2＝2＜3，所以点(－1，－1)在圆O：x2＋y2＝3内部，所以直线l与圆O相交．故选A． 方法二：由，得 (k2＋1)x2＋2k(k－1)x＋(k－1)2－3＝0， Δ＝4k2(k－1)2－4(k2＋1)[(k－1)2－3] ＝8(k2＋k＋1)＝8＞0， 故直线与圆相交． 答案：A (2)“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则有＝2，即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.但当a＝3时，直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8一定相切，故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件． 答案：A 判断直线与圆的位置关系的方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断． (2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交． 1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　) A．相切　　　　　　 B．相交 C．相离 D．不确定 解析：B　因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝＜1，故直线与圆O相交． 2．若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，2] B．(1，2] C．(0，2) D．(1，2) 解析：C　由题意得，圆心到直线的距离为d＝＞， ∴m＜2，∵m＞0，∴0＜m＜2. 题型二　圆的弦长问题 　(1)(多选题)(2022·广东广州执信中学高二期中)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　) A．0 B．4 C．－2 D． 解析：由圆的方程可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝ ＝.又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0. 答案：AB (2)(2022·山东聊城高二期中)过点(3，1)作圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为________． 解析：设点A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2.当弦过点A(3，1)且与CA垂直时弦长最短．因为|CA|＝＝，所以最短弦长为2 ＝2＝2. 答案：2 涉及直线被圆截得的弦长问题时，解法有以下两种： (1)由于半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋＝r2求解，这是常用解法． (2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法较烦琐，一般不用． 3．设圆上的点A(2，3