1.4.2 第二课时 夹角问题-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

第二课时　夹角问题 学习目标 1．会用向量法求线线、线面、面面夹角．(重点) 2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．(难点) 知识点一　异面直线所成角的向量求法 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝． [微练1]　已知直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－1，2，3)，b＝(1，－1，0)，则直线l1与l2所成角的余弦值为________． 解析：设直线l1与l2所成的角为θ，则cos θ＝＝. 答案： 知识点二　直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝． (1)求直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题． (2)线面角的范围为. (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． [微练2]　若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A．120°　 B．60°　 C．150°　 D．30° 解析：D　设直线l与平面α所成角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝，由于θ∈[0，]，故θ＝30°. 知识点三　两平面的夹角 1．平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 2．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝． (1)求两平面的夹角问题转化为两平面法向量的夹角问题． (2)两平面的夹角的范围是，二面角的范围是[0，π]． (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念． [微练3]　如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，＝(0，0，2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，2)，二面角O -AB-C的大小为θ，则cos θ＝________． 解析：由题意cos θ＝＝＝. 答案： 题型一　两异面直线所成角的向量求法 1．如图，圆锥的底面直径AB＝2，高OC＝，D为底面圆周上的一点，∠AOD＝120°，则空间中异面直线AD与BC所成的角为(　　) A．30°　　 B．60°　　 C．75°　　 D．90° 解析：B　方法一：设的中点为E，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为圆锥的底面直径为2，高为，且∠AOD＝120°，故A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C(0，0，)，D(，，0)，则＝(，，0)，＝(0，－1，)，则直线AD与BC所成角的余弦值为＝，即直线AD与BC所成的角为60°. 方法二：因为＝－，＝－， ∠AOD＝120°，∠BOC＝90°，所以·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝0－0－－1＝－，||＝，||＝，所以cos 〈，〉＝＝－，所以〈，〉＝120°，所以异面直线AD与BC所成的角为60°. 2．(2022·重庆中山外国语学校高二期中)在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝2，AC＝2，PB⊥平面ABC，点M，N分别为AC，PB的中点，MN＝，Q为线段AB上的点(不包括端点A，B)，若异面直线PM与CQ所成角的余弦值为，则＝(　　) A．或4 B． C． D． 解析：D　如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝2，AC＝2，所以BA⊥BC．以B为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．可知A(2，0，0)，B(0，0，0)，C(0，2，0)，M(1，1，0)，则BM＝，又MN＝，所以BN＝＝2，所以PB＝4，则P(0，0，4)，＝(1，1，－4)．设＝λ，且0<λ<1，则Q(2λ，0，0)，＝(2λ，－2，0)，所以异面直线PM与CQ所成角的余弦值为＝＝，解得λ＝或λ＝4(舍去)，所以＝. 求异面直线夹角的步骤 (1)确定两条异面直线的方向向量； (2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值； (3)得出两条异面直线所成的角． 题型二　直线与平面所成角的向量求法 　 (2022·全国甲卷改编)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD⊥BD，AD＝1，AB＝2，DP＝，求PD与平面PAB所成角的正弦值． 解：以D点为原点，以DA，DB，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，，0)，P(0，0，)，所以＝(0，0，－)，＝(1，0，－)，＝(－1，，0)． 设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 不妨设z＝1，则n＝(，1，1)．