4.4 数学归纳法-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

4．4*　数学归纳法 学习目标 1．了解数学归纳法的原理．　2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题． 知识点一　数学归纳法原理 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法． [微练1]　用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式(　　) A．1＋<2　　　 B．1＋＋<2 C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3 解析：B　由题意得，当n＝2时，不等式为1＋＋<2. 知识点二　数学归纳法两个步骤间的关系 记P(n)是一个关于正整数n的命题．可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真，结论：P(n)为真． (1)第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真； (2)第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题；若P(k)为真，则P(k＋1)也为真． 完成这两步，就有P(n0)为真，P(n0＋1)真，……P(k)真，P(k＋1)真…….从而完成证明． 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设． [微练2]　用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)成立．那么，“当n＝1时，命题成立”是“当n∈N*时，命题成立”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　“当n＝1时，命题成立”不一定能推出“当n∈N*时，命题成立”， “当n∈N*时，命题成立”可以推出“当n＝1时，命题成立”， 所以“当n＝1时，命题成立”是“当n∈N*时，命题成立”的必要不充分条件． [微练3]　思考辨析(判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号里打“√”，错误的打“×”) (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．(　　) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(　　) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 题型一　用数学归纳法证明等式 　(链接教材P47例2)用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(n∈N*)． 证明：(1)当n＝1时，＝成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有 ＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝. 所以当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)，(2)可得对于任意的n∈N*等式都成立． 1．用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n＝k＋1时证明目标的表达式进行变形． 2．运用数学归纳法证明命题的注意事项：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉． 1．用数学归纳法证明：2＋4＋8＋…＋2n＝2n＋1－2(n∈N*)． 证明：(1)当n＝1时，左边＝2，右边＝2，等式成立． (2)假设当n＝k(k是任意正整数)时，等式成立，即2＋4＋8＋…＋2k＝2k＋1－2， 则当n＝k＋1时，2＋4＋8＋…＋2k＋2k＋1＝2k＋1－2＋2k＋1＝2·2k＋1－2＝2(k＋1)＋1－2， 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 根据(1)(2)可知，等式2＋4＋8＋…＋2n＝2n＋1－2对任意n∈N*都成立． 题型二　用数学归纳法证明不等式 　数列{an}满足an＋1＝，a1＝1. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和Sn，并用数学归纳法证明＋＋…＋>. 解：(1)证明：∵an＋1＝， ∴＝， 化简得＝2＋，则－＝2， 故数列是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)，知Sn＝n2，从而要证明的不等式即为＋＋＋…＋>. ①当n＝1时，＝1，＝，不等式显然成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即＋＋＋…＋>. 当n＝k＋1时，＋＋…＋＋>＋， 又＋－ ＝1－＋－1＋ ＝－＝>0， 所以当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋>成立． 根据①，②知，＋＋＋…＋>成立， 故＋＋＋…＋>成立． 用数学归纳法证明不等式应注意的问题： (1)使用数学归纳法证明不等式问题，在证明“n＝k＋1时命题成立”应明确要证的不等式是什么，怎样利用归纳假