4.1 第一课时 数列的概念与表示-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

4．1　数列的概念 第一课时　数列的概念与表示 学习目标 1．通过日常生活和数学中的实例了解数列的概念和表示方法(列表法、图象法、通项公式法)．　2.了解数列是一种特殊的函数．　3.能根据数列的前几项写出数列的通项公式，并能利用数列的通项公式写出数列的任意项． 知识点一　数列的概念 1．数列的概念 (1)按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，其中第1项也叫做首项． (2)数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}，这里n是序号． 2．函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． (1)数列{an}与an是不同的．{an}表示数列：a1，a2，a3，…，an，….an表示数列{an}中的第n项． (2)数列中的项与项的序号是不同的．数列中的项是指这个数列中的某一个确定的数． (3)数列是一种特殊的函数，定义域为正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}． [微练1]　数列2，3，4，5共有____项，第2项是____． 答案：4　3 [微练2]　下列说法正确的是(　　) A．1，7，1，7，…，1，7能构成数列 B．1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列 C．1，1，1，1不是数列 D．{an}与an是一样的，都表示数列 解析：A　由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1，1，1，1，故A正确，C不正确；B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，B错；因为an表示数列{an}中的第n项，故D不正确． 知识点二　数列的分类 1．按项数分类：项数有限的数列叫有穷数列；项数无限的数列叫无穷数列． 2．按项的变化趋势分类 类别 含义 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外． [微练3]　思考辨析(判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号里打“√”，错误的打“×”) (1)0，0，0，0是一个常数列．(　　) (2)如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．(　　) (3)数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 知识点三　数列的通项公式 1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2．数列是特殊的函数，还常用列表法和图象法表示数列．用图象法表示数列时，其图象是一些离散的点． [微练4]　数列3，4，5，6，…的一个通项公式为(　　) A．an＝n　　　　　 B．an＝n＋1 C．an＝n＋2 D．an＝2n 解析：C　易知数列的每一项是序号加2， 故an＝n＋2. [微练5]　已知数列{an}的通项公式an＝n2＋n＋1，则a3＝________． 解析：因为an＝n2＋n＋1， 则a3＝32＋3＋1＝13. 答案：13 题型一　数列的概念与分类 　(1)下列关于数列的叙述正确的是(　　) A．{0，1，2，3，4，5}是有穷数列 B．按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷递增数列 C．－2，－1，1，3，－2，4，3是一个项数为5的数列 D．数列1，2，3，4，…，2n是无穷数列 解析：B　{0，1，2，3，4，5}是集合，而不是数列，故A错误；按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷递增数列，故B正确；同一个数在数列中可以重复出现，故此数列共有7项，故C错误；数列1，2，3，4，…，2n，共有2n项，是有穷数列，故D错误． (2)(多选)以下四个数列中的递增数列是(　　) A．1，，，，… B．sin ，sin ，sin ，… C．－1，－，－，－，… D．1，，，…， 解析：CD　A是递减数列，B是摆动数列，选项C，D是递增数列． 数列及其分类的判定方法 (1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数． (2)判断数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列是有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列． (3)数列{an}的单调性：若满足an<an＋1(n∈N*)则是递增数列；若满足an>an＋1(n∈N*)则是递减数列；若满足an＝an＋1(n∈N*)则是常数列；若an与an＋1(n∈N*)的大小不确定时，则是摆动数列． 1．下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ (1)1，2，3，4，5，6，7，…； (2)10，8，6，4，…； (