4.1 第二课时 数列的递推公式与前n项和-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

第二课时　数列的递推公式与前n项和 学习目标 1．递推公式是数列的一种表示方法，能够根据递推公式写出数列的前几项．　2.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法．　3.了解数列的前n项和Sn的含义，能根据前n项和Sn求数列的通项公式． 知识点一　数列的递推公式 1．定义：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 2．用递推公式给出一个数列，必须具备两个条件： (1)“基础”——数列{an}的第1项(或前几项)； (2)递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系用公式表示． 数列的通项公式和递推公式是给出数列的两种不同表示方法，但它们的用途一致，都能给定一个数列． [微练1]　已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，此数列的第3项是(　　) A．1　　 B．　　 C．　　 D． 解析：C　∵an＋1＝an＋，a1＝1， ∴a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝×1＋＝. 知识点二　数列的前n项和 1．数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝ 由Sn求an，应分n＝1与n≥2两种情况分别进行计算后，再验证两种情形可否用统一的式子表示．若不能，则用分段的形式表示． [微练2]　设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　) A．15 B．16 C．49 D．64 解析：A　a8＝S8－S7＝82－72＝15. [微练3]　思考辨析(判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号里打“√”，错误的打“×”) (1)数列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N*，则a2＝2a1.(　　) (2)利用an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}．(　　) (3)an＝Sn－Sn－1成立的条件是n∈N*.(　　) (4)递推公式是表示数列的一种方法．(　　) 提示：(2)只有给出a1的值(或者任意一项的值)，才可以确定数列{an}． (3)an＝ 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 题型一　由递推公式求数列中的项 　已知数列{an}中，a1＝1，且满足an＝3an－1＋(n∈N*，且n>1)，写出数列{an}的前4项． 解：由题意，得a2＝3a1＋， 又a1＝1，所以a2＝3×1＋＝. 同理a3＝3a2＋＝10，a4＝3a3＋＝. 由递推公式写出数列的项的方法 (1)由递推公式求数列某些项的值，只需根据题目给出的已知项的值，代入递推公式求得相邻项的值，以此类推，逐步求得所要求的项的值． (2)①若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． ②若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式． 1．若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a2023. 解：a2＝＝＝－3， a3＝＝＝－， a4＝＝＝， a5＝＝＝2＝a1， … ∴{an}是周期为4的数列， ∴a2023＝a4×505＋3＝a3＝－. 题型二　由递推公式求数列的通项 　(链接教材P8练习T3)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2，n∈N*，求通项an. 解：∵an＋1－an＝2，n∈N* ∴a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2 … an－an－1＝2(n≥2) 以上n－1个式子相加，得an－a1＝2(n－1)(n≥2)，∴当n≥2时，an＝2n－1， 由于a1＝1适合上式． 故数列{an}的通项公式an＝2n－1，n∈N*. [发散思维]　1.若本例中条件“an＋1＝an＋2”变为“an＋1＝an＋－”，其余不变，试求数列的通项公式an. 解：由a1＝1，an＋1＝an＋－，n∈N*， 则an＋1－an＝－，n∈N*， ∴a2－a1＝1－， a3－a2＝－， a4－a3＝－， … an－an－1＝－(n≥2)． 以上各式累加，得an－a1＝＋(－)＋…＋＝1－， 所以an＝a1＋1－＝(n≥2)． 又a1＝1适合上式， 故an＝，n∈N*. 2．若本例中条件“an＋1＝an＋2”变为“an＝2an－1(n≥2)”，其余条件不变，试求通项公式an. 解：由an＝2an－1(n≥2)，且a1＝1， 所以an≠0，则＝2(n≥2)， 因此＝2，＝2，…，＝2， 以上n－1个式子相乘，＝2n－1， 所以an＝2n－1(n≥2)． 又a1＝1时，a1＝1适合上式，