专题26 抛物线及其标准方程5种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题26 抛物线及其标准方程5种常见考法归类 1、抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 注：（1）定义的实质可归纳为“一动三定” 一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)． （2）在抛物线定义中，若去掉条件“l不经点F”，点的轨迹不一定是抛物线，当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F，且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线． 2、抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px (p>0) x＝－ y2＝－2px (p>0) x＝ x2＝2py (p>0) y＝－ x2＝－2py (p>0) y＝ 注：（1）四个标准方程的区分 焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向． （2）抛物线标准方程中的参数p的作用 参数p称为焦准距或焦参数，是焦点到准线的距离．p确定了抛物线的焦点坐标和准线方程及抛物线的标准方程． （3）如何记忆抛物线的四种标准方程？ ①方程特点：焦点在x轴上，x是一次项，y是平方项；焦点在y轴上，y是一次项，x是平方项． ②一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀： 焦点轴一次项，符号确定开口向； 若y是一次项，负时向下正向上； 若x是一次项，负时向左正向右． （4）抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)与二次函数y＝ax2(a>0)区别： y2＝2px(p>0)与y＝ax2(a>0)对应的图形都是抛物线形，但开口方向和对称轴都不一样．y2＝2px(p>0)：焦点，对称轴为x轴，开口向右；y＝ax2(a>0)，即x2＝y，焦点，对称轴为y轴，开口向上． 3、抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．　　 4、求抛物线的标准方程的关键与方法 (1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数． (2)方法：①直接法，建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程； ②直接根据定义求p，最后写标准方程； ③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程(组)求系数，其一般步骤为： 5、求解抛物线实际应用题的步骤： 6、圆锥曲线的共性探究 动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为一个常数，即＝e. (1)当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆； (2)当e＝1时，动点M的轨迹是抛物线； (3)当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线．此时定点F为圆锥曲线的一个焦点，定直线l叫做圆锥曲线对应该焦点F的一条准线x＝，常数e就是该圆锥曲线的离心率，此结论称为圆锥曲线的统一定义(也称为第二定义)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 抛物线定义及应用 考点二 求抛物线的标准方程 考点三 求抛物线的方程求参数 考点四 抛物线方程的实际应用 考点五 求抛物线的轨迹方程 考点一 抛物线定义及应用 1．（2023春·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐101中学校考阶段练习）在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，则动点的轨迹是（ ） A．抛物线 B．直线 C．抛物线或直线 D．以上结论均不正确 2．（2023秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ． 3．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知抛物线上有一动点，则与点距离的最小值为 ． 4．【多选】（2023秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）为抛物线上的动点，动点到点的距离为（F是的焦点），则（    ） A．的最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最小值为 5．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国·高三专题练习）设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为 . 7．（2023秋·广东广州·高三广州大学附