4.4 同角三角函数的基本关系（同步课件，含动画演示）-【中职专用】2023-2024学年高一数学同步精品课堂（高教版2021·基础模块上册）

第4章 三角函数 4.4 同角三角函数的基本关系 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 同角三角函数的基本关系是在任意角三角函数定义的基础上，建立起三个三角函数的联系，从而解决已知角α的一个三角函数值，求该角的其余三角函数值的问题．同角三角函数的基本关系式在解决三角函数的化简、求值、证明中具有重要作用． 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 我们知道，对于任意角α的正弦函数sinα、余弦函数cosα和正切函数tanα，都是角α的三角函数，那么这些三角函数之间存在怎样的关系呢？ 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 一般地，设点P (x，y)是角α的终边与单位圆O的交点，则|OP|=1，x=cosα，y=sinα. 因为 |OP|=r ，所以 x²+y²=1 即 sin²α+ cos²α =1 显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立． 而当α≠+2kπ(k∈Z) 时，有tanα= =． 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 这说明，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切． 由此得到同角三角函数间的基本关系式： sin²α+ cos²α =1 tanα= 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 温馨提示 在运用同角三角函数的基本关系时，要特别注意“同角”二字． 如sin²35° + cos²35° =1，tan35° =； sin²β + cos²β =1，tanβ =； sin²2α + cos²2α =1，tanβ =． 以上各式都符合同角三角函数基本关系式的形式，所以都成立． 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 温馨提示 sin²30° + cos²60° 中的角不是“同角”，不符合基本关系式的形式，所以 sin²30° + cos²60° ≠1 ． 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 典例1 已知 sinα= ，且角α是第二象限角，求cosα和tanα． 解 因为sin²α+ cos²α =1， 所以 又因为角α是第二象限角，所以cosα＜0，因此 从而 tanα== =- 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 典例2 已知tanα = -，且角α是第四象限角，求sinα和cosα． 解 由题设及同角三角函数基本关系，得方程组 因为α是第四象限角，cosα＞0所以 ． sinα= -× =- 解方程组得到 试一试 在例1中，如果去掉“角α是第二象限角”这个条件，该如何求解．如果在例2中也做同样的处理，该如何求解？ 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 典例3 化简： ． 解 因为tanα -1= ， 所以 = =． 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 典例4 求证： = ． 证明 因为 - = = =0 ． 所以 = ． 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 典例5 已知tanα=2，求 ． 解法一：由tanα=2，得 =2，即sinα=2cosα，所以 = = = = ． 解法二：代数式上下同除以tanα，得 ． 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 sinα+cosα与sinαcosα之间有什么关系？ 探究与发现 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 【巩固1】 注意：开方运算根据角所在象限确定符号，不知角所在象限要根据条件讨论 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 【巩固2】已知,且 分析：我们 方程组，就可 以求出. 解:由题意和三角函数的基本关系式，可列方程组 1 2 由②得cos 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 【巩固3】化简 解： 解题思路：切化弦 去根号 同角三角函数化简常用方法： 开方运算根据角所在象限确定符号 注意 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 【巩固3】已知的值 解法1：由tan . 解题思路： 把不同名函数化 成同名同角函数 对于分式齐次式,因为 一般可在分子和分母中同除以 注意 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 【巩固3】已