4.2.2等差数列的前n项和公式（第1课时）（导学案）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.2等差数列的前n项和公式（第1课时） 导学案 学习目标 1. 了解等差数列前n项和公式的推导过程. 2. 掌握等差数列前n项和公式. 3. 熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个． 重点难点 1. 重点： 等差数列的前n项和的应用 2. 难点：等差数列前n项和公式的推导方法 课前预习 自主梳理 知识点　等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋ 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加．( 　) (2) 若数列{an}的前n项和Sn＝kn(k∈R)，则{an}为常数列．(　 　) (3) 等差数列的前n项和，等于其首项、第n项的等差中项的n倍．(　 　) (4) 4．1＋2＋3＋…＋100＝.(　 ) 2.已知数列是等差数列，其前n项和为，若，则（    ） A．15 B．25 C．35 D．45 3.在等差数列中，则数列前9项和为（    ） A．54 B．27 C．36 D．24 4.，则（    ） A． B． C． D． 5.已知数列满足则其前9项和等于（    ） A．150 B．180 C．300 D．360 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 前面我们学习了等差数列的概念和通项公式，下面我们将利用这些知识解决等差数列的求和问题． 据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： 高斯的算法实际上解决了求等差数列 ① 前100项的和的问题． 高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献. 环节二 观察分析，感知概念 问题1：你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中得到求数列①的前项和的方法吗？ 对于数列①，设，那么高斯的计算方法可以表示为 ． 可以发现，高斯在计算中利用了 这一特殊关系，这就是上一小节例5中性质的应用，它使不同数的求和问题转化成了相同数（即101）的求和，从而简化了运算． 问题2：你能用高斯的方法求吗？ 将上述方法推广到一般，可以得到： 当是偶数时，有 于是有 ． 当是奇数时，有 ． 所以，对任意正整数，都有 ． 环节三 抽象概括，形成概念 问题3：我们发现，在求前个正整数的和时，要对分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦．能否设法避免分类讨论？ 如果对公式作变形，可得 它相当于两个相加，而结果变成个相加． 受此启发，我们得到下面的方法： 将上述两式相加，可得 所以 环节四 辨析理解 深化概念 问题4：上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列的前项和吗？ 可以发现，上述方法的妙处在于将“倒序”为，再将两式相加，得到个相同的数（即）相加，从而把不同数的求和转化为个相同的数求和． 对于等差数列，因为，由上述方法得到启示，我们用两种方式表示： ① ② 得 由此得到等差数列的前项和公式 （1） 对于等差数列，利用公式（1），只要已知等差数列的首项和末项，就可以求得前项和．另外，如果已知首项和公差，那么这个等差数列就完全确定了，所以我们也可以用和来表示． 把等差数列的通项公式代入公式（1），可得 （2） 将（1）变形可得，所以就是等差教列前项的平均数．实际上，我们就是利用等差数列的这一重要特性来推导它的前项和的．你还能发现这一特性的一些应用吗? 问题5：不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？ 环节五 概念应用，巩固内化 例6 已知数列是等差数列． （1）若，，求； （2）若，，求； （3）若，，，求． 问题6：对于等差数列的相关量，，，，，已知几个量就可以确定其他量? 例7已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定． 探究 已知数列的前项和为，其中，，为常数，且．任取若干组，，，在电子表格中计算，，，，的值（图给出，，的情况），观察数列的特点，研究它是一个怎样的数列，并证明你的结论． 环节六 归纳总结,反思提升 问题7 请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题： 1. 本节课学习的概念有哪些？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 1．知识清单： (1)等差数列前n项和及其计算公式． (2)等差数列前n项和公式的推导过程． (3)由an与Sn的关系求an. (4)等差数列在实际问题中的应用． 2