3.1.2 第1课时 函数的表示法-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

3．1.2　函数的表示法 第1课时　函数的表示法 学习目标 1．了解函数的三种表示方法及各自的优缺点.2.会求函数的解析式.3.能用图象法表示函数并能通过函数图象得到函数的值域．　　 知识点　函数的三种表示方法 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 并不是所有的函数都能用解析式表示；事实上，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． [微练1]　已知y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为(　　) A．y＝　　　　　 B．y＝－x C．y＝ D．y＝ 解析：C　设y＝，由题意得1＝， 解得k＝2，所以y＝. [微练2]　已知函数y＝f(x)的对应关系由下表给出，则f(3)＝(　　) x 1≤x<2 2 2<x≤4 f(x) 1 2 3 A．1 B．2 C．3 D．不存在 答案：C [微练3]　函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________． 答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) 题型一　函数的表示法 中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x∈{1，2，3，4，5，6})块月饼需要y元，你能用函数的三种表示方法表示函数y＝f(x)吗？ 解：①函数的定义域是数集{1，2，3，4，5，6}，用解析法可将函数表示为f(x)＝6x，x∈{1，2，3，4，5，6}． ②列表法可将函数表示为 月饼数x 1 2 3 4 5 6 钱数y 6 12 18 24 30 36 ③图象法可将函数表示为 理解函数表示法的三个关注点 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念． (2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数． (3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． 题型二　函数的图象及其应用 　作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]； (2)y＝，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]． [解]　(1)列表： x 0 1 2 y 1 2 3 4 5 当x∈[0，2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5]． (2)列表： x 2 3 4 5 … y 1 … 当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]． (3)列表： x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8 画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．由图可得函数的值域是[－1，8]． 描点法作函数图象的三个关注点 (1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈． [注意]　函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等． 1．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)． (1)画出f(x)图象的简图； (2)根据图象写出f(x)的值域． 解：(1)f(x)图象的简图如图所示． (2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，即f(x)的值域是[－1，3]． 题型三　函数解析式的求法 角度1　待定系数法求函数解析式 　已知函数f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式． [解]　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ∵f(0)＝1，∴c＝1. 又∵f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 整理，得2ax＋(a＋b)＝2x. 由恒等式的性质知，上式中对应项的系数相等， ∴解得∴f(x)＝x2－x＋1. 角度2　换元法(配凑法)求函数解析式 　已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)； [解]　法一：(配凑法) 因为f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)，所以f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：(换元法) 令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)， 所以f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1(t≥1)．所以f(x)＝x2－1(x≥1)． 角度3　方程组法求函数解析式 　已知2f()＋f(x)＝x(x