9.2.4 总体离散程度的估计-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

9．2.3　总体集中趋势的估计 9．2.4　总体离散程度的估计 学习目标 1．掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和特征及其在刻画数据中各自的作用．(重点) 2．理解平均数和中位数在频率分布直方图中的关系．(重点)　3.理解标准差、方差公式的基本性质．(重点)　4.通过具体实际问题不断体会集中趋势、离散程度是如何刻画的，以及它们之间的内在联系．(重点) 知识点一　众数、中位数、平均数 名称 概念 平均 数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么(x1＋x2＋…＋xn)就是这组数据的平均数，用表示，即＝(x1＋x2＋…＋xn) 中位 数 将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)叫做这组数据的中位数 众数 一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)叫做这组数据的众数 一组数据中的众数唯一吗？ 提示：一组数据的平均数、中位数都是唯一的．众数不唯一，可以有一个，也可以有多个(如1,2,2,3,3,4,5,6这组数的众数是2和3)，还可以没有(如1,2,3,4,5,6这组数就没有众数)． [微练1]　倡导中小学生学习践行的“富强、民主、文明、和谐；自由、平等、公正、法治；爱国、敬业、诚信、友善”这24个字，其中含有12个词，每个词的笔画数的和依次为24,10,12,19；11,17,9,16；18,17,17,16.则这12个笔画数的平均数、中位数、众数分别是(　　) A．15,16,17　　　　　 B．15.5,16.5,17 C．16.5,17,16 D．17,16,16 解析：B　把这12个数按照从小到大的顺序排列为9,10,11,12,16,16,17,17,17,18,19,24，则这组数据的平均数是×(9＋10＋11＋12＋16＋16＋17＋17＋17＋18＋19＋24)＝15.5，中位数是×(16＋17)＝16.5，众数是17. 知识点二　总体离散程度的估计 1．方差和标准差 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，则我们称(xi－)2为这组数据的方差，有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成－2的形式．我们对方差开平方，取它的算数平方根 ，称为这组数据的标准差． 2．总体(样本)方差和总体标准差 (1)一般式 如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则总体方差S2＝(Yi－)2. (2)加权式 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝i(Yi－)2. 总体标准差：S＝. 用(xi－)或xi－|来衡量一组数的离散程度可以吗？为什么？ 提示：不能用(xi－)来衡量离散程度，可以用xi－|来衡量离散程度．因为xi－的值有正有负，直接相加可能会相互抵消，这样就无法衡量这些数据的离散程度．而|xi－|的值为非负数，因此xi－|可以用来衡量一组数的离散程度． [微练2]　某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差为________． 解析：∵平均数＝＝7，∴方差s2＝×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝＝3.2 答案：3.2 题型一　众数、中位数、平均数的应用 1．篮球运动员甲在某赛季前15场比赛的得分如表： 得分 8 13 18 22 28 33 37 频数 1 3 4 1 3 1 2 则这15场得分的中位数和众数分别为(　　) A．22,18 B．18,18 C．22,22 D．20,18 解析：B　根据表中数据可知，得分频数最高的为18，故众数为18， 将得分按从小到大顺序排序，得8,13,13,13,18,18,18,18,22,28,28,28,33,37,37，排在中间位置的为18，故中位数为18. 2．某机车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70,60,60,50,60,40,40,30,30,10，则这组数据的众数、平均数、中位数的和为(　　) A．170 B．165 C．160 D．150 解析：D　把数据从小到大排列为：10,30,30,40,40,50,60,60,60,70， 则这组数据的众数为60，中位数为×(40＋50)＝45， 平均数为×(10＋30＋30＋40＋40＋50＋60＋60＋60＋70)＝45， 故三者之和为60＋45＋45＝150. 3．(链接教材P206例5)16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己