7.2.2 复数的乘、除运算-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

7.2.2　复数的乘、除运算 学习目标 1．掌握复数乘、除运算的法则，能够进行复数的乘、除运算．(重点)　2.掌握虚数单位i幂值的周期性，能进行有关的运算．(重点)　3.能在复数范围内解有关方程问题．(难点) 知识点一　复数的乘、除法及乘法运算律 1．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． 2．复数的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di)＝＝＝＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)． 3．复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 (1)交换律：z1z2＝z2z1； (2)结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)； (3)分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3. [微练1]　(1)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________． 答案：2 (2)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________. 答案：5－5i (3)(－3＋2i)2＝________． 答案：5－12i 知识点二　复数范围内一元二次方程的解法 1．在复数范围内，任何实系数一元二次方程都是有根的，当实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＜0时，其求根公式为x＝． 2．若复系数方程有实数根，通常将这个根设出，代入方程，利用复数的运算以及复数相等的充要条件进行求解． [微练2]　若关于x的方程x2＋(1－2i)x＋a－i＝0(a∈R)有实数根，则这个实数根等于(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：B 题型一　复数的乘法与除法运算 1．(2023·安徽合肥十中高二期末)已知复数z满足z(1＋2i)＝i(1＋z)，则z＝(　　) A．＋i B．－i C．1＋i D．1－i 解析：A　因为z(1＋2i)＝i(1＋z)，所以z(1＋i)＝i，所以z＝＝＝＝＋i. 2．(多选题)若复数z满足(1＋i)z＝3＋i(其中i是虚数单位)，复数z的共轭复数为，则(　　) A．|z|＝ B．z的实部是2 C．z的虚部是1 D．复数 在复平面内对应的点在第一象限 解析：ABD　由(1＋i)z＝3＋i， 得z＝＝＝2－i， ∴|z|＝，故A正确； z的实部为2，故B正确； z的虚部是－1，故C错误； 复数在复平面内对应的点为(2，1)，在第一象限，故D正确． 3．计算： (1)＋(－－i)3＋＝________； (2)＝________． 解析：(1)＋(－－i)3＋＝－i＋＋＝－i－8i＋i＝－8i. (2)＝＝＝＝＝－2－2i. 答案：(1)－8i　(2)－2－2i 复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可． (2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化． 题型二　i的周期性及应用 　(1)计算：＋＝________． (2)设i是虚数单位，则复数(1－i)2－－4i2023＝________． 解析：(1)由＝i，＝i， 可得原式＝i6＋i＝－1＋i. (2)原式＝－2i－＋4i ＝－2i－＋4i＝－2i－2i＋4i＝0. 答案：(1)－1＋i　(2)0 利用i幂值的周期性解题的技巧 (1)熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i. (2)对于n∈N*，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0. 1．计算下列各式的值： (1)i2022； (2)(1＋i)12＋(1－i)12； (3)1＋i＋i2＋…＋i2016. 解：(1)i2022＝i4×505·i2＝－1. (2)(1＋i)12＋(1－i)12＝[(1＋i)2]6＋[(1－i)2]6＝(2i)6＋(－2i)6＝(－4)3＋(－4)3＝－128. (3)1＋i＋i2＋…＋i2016＝(1＋i＋i2＋i3)＋(i4＋i5＋i6＋i7)＋…＋(i2012＋i2013＋i2014＋i2015)＋i2016＝0×504＋i2016＝1. 题型三　与复数有关的方程根问题 　(链接教材P79例6)已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根． (1)求实数a，b的值； (2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明． 解：(1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0， ∴解得 (2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0. 设另一个根为x2，由根与系数的关系，得－1＋i＋x2＝－2，∴x2＝－1－i. 把x2＝－1－