6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 学习目标 1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角．(重点、难点)　2.掌握向量垂直条件的坐标形式，并能灵活运用．(重点) 知识点一　平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示 1．平面向量数量积的坐标表示 已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 2．平面向量垂直的坐标表示 设a，b是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． [微练1]　(1)已知a＝(1，2)，b＝(－1，3)，则2a·(a＋2b)＝________． 答案：30 (2)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则实数x等于________． 答案：4 知识点二　平面向量的模与夹角的坐标表示 已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，当a与b的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？ 提示：因为a·b<0，且〈a，b〉≠π，所以λ<1且λ≠－1. 所以λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1)． [微练2]　(1)已知向量a＝(2，3)，b＝(k，5)，且a·b＝3，则|2a＋b|＝________． 答案：5 (2)若a＝(4，－3)，b＝(－8，－6)，则a，b夹角的余弦值为________． 答案：－ 题型一　数量积的坐标运算 1．已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　) A．10 B．－10 C．3 D．－3 解析：B　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. 2．在平行四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－3，2)，则·＝________． 解析：设AC，BD相交于点O，则＝＋＝＋＝＋＝(－1，2)．又＝(1，2)，∴·＝(－1，2)·(1，2)＝－1＋4＝3. 答案：3 3．已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则(＋)·＝________． 解析：如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，所以C(2，1)． 因为E，F分别为BC，CD的中点， 所以E，F(1，1)， 所以＋＝，＝(－2，1)，所以(＋)·＝3×(－2)＋×1＝－. 答案：－ 关于向量数量积的运算 (1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2及向量的坐标运算，并注意与函数、方程等知识的联系． (2)向量数量积的运算有两种思路：一种是几何法，另一种是坐标法，两者相互补充．如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时，一般选择坐标法． 题型二　利用数量积解决模与夹角问题 　(链接教材P36练习T3)(1)已知向量a＝(1，1)，b＝(－2，3)，则|a－2b|＝(　　) A．5 B．5 C．8 D． 解析：B　易知a－2b＝(5，－5)，从而|a－2b|＝＝5. (2)已知a，b为平面向量，且a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，若a，b的夹角为θ，则cos θ＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：C　因为a＝(4，3)，所以2a＝(8，6)．又2a＋b＝(3，18)，所以b＝(－5，12)，所以a·b＝－20＋36＝16.又|a|＝5，|b|＝13，所以cos θ＝＝＝. 1．求向量模的方法 (1)利用公式|a|＝ 求解； (2)利用数量积求解； (3)利用公式a2＝|a|2求解． 2．解决向量夹角问题的方法及注意事项 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)先利用平面向量的坐标求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cos θ＝求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝直接求出cos θ. 由三角函数值cos θ求角θ时，应注意θ的取值范围是[0，π]． (2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝来判断角θ时，要注意cos θ＜0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ＞0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0. 1．已知向量a＝(1，3)，|b|＝，且a与b的夹角θ＝，则|a－2b|＝(　　) A． B．2 C． D．2 解析：C　根据题意，向量a＝(1，3)，则|a|＝＝， 则有(a－2b)2＝a2＋4b2－4a·b＝10＋4×5－4×××＝10，故|a－2b|＝.故选C． 题型三　利用坐标运算解决垂直问题 　(链接教材P36习题T10)已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c. (1)求b与c； (2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求