6.3.1 平面向量基本定理-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

6．3　平面向量基本定理及坐标表示 6．3.1　平面向量基本定理 学习目标 1．理解基底的定义，并能判断两个向量是否是基底．(重点、易错点)　2.理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量．(难点) 知识点　平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． (1)为什么一个非零向量不能表示任意向量？ 提示：一个非零向量的数乘只能表示与之平行的向量． (2)为什么要求e1和e2是同一平面内的两个不平行的向量？ 提示：如果e1和e2平行，由平行向量基本定理可知，只能表示与e2平行的向量． [微练]　(1)设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则以下各组向量中不能作为基底的是(　　) A．e1，e2 B．e1＋e2，3e1＋3e2 C．e1，5e2 D．e1，e1＋e2 解析：B　∵3e1＋3e2＝3(e1＋e2)， ∴两向量共线不可作为基底． (2)在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝__________．(用e1，e2表示) 解析：如图，＝－＝＋2＝＋＝－＋(－)＝－e2＋(e2－e1)＝－e1＋e2. 答案：－e1＋e2 题型一　基底概念的理解 1．(多选题)已知e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则下列四组向量中，可以作为一组基底的是(　　) A．e1和e1＋e2 B．e1－2e2和e2－2e1 C．e1＋e2和e1－e2 D．e1－2e2和4e2－2e1 解析：ABC　因为e1和e2是平面向量的一组基底，故e1和e2不共线，所以e1和e1＋e2不共线，e1－2e2和e2－2e1不共线，e1＋e2和e1－e2不共线，因为4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，所以e1－2e2和4e2－2e1共线．故选ABC． 2．(多选题)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，其中可表示这个平行四边形所在平面内所有向量的一个基底是(　　) A．{，} B．{，} C．{，} D．{，} 解析：AC　平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底．如图，对于A，与不共线，可作为基底；对于B，与为共线向量，不可作为基底；对于C，与不共线，可作为基底；对于D，与是共线向量，不可作为基底． 3．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________(填序号)． ①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)； ④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. 解析：由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的． 对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个． 答案：②③ 两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． 题型二　用基底表示向量 　(链接教材P26例1)如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量，. 解：＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－＋＋＝a－b. ＝＋＋＝－＋＋＝b－a. [发散思维]　1.(变设问)本例条件不变，试用基底{a，b}表示. 解：由平面几何知识知BG＝BF， 故＝＋＝＋ ＝a＋＝a＋b－a ＝a＋b. 2．(变条件)若将本例中的向量“，”换为“，”，即若＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量，. 解：＝＋＝2＋＝－2＋＝－2b＋a.＝＋＝2＋＝－2＋＝－2a＋b. 用基底表示向量的三个依据和两个“模型” (1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义； ③数乘向量的几何意义． (2)模型： 1.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是AD，BC的中点，且＝k，设＝e1，＝e2，以{e1，e2}为基底表示向量，，. 解：法一：∵＝e2，＝k， ∴＝k＝ke2. ∵＋＋＋＝0， ∴＝－－－＝－＋＋＝e1＋(k－1)e2. 又＋＋＋＝0， 且＝－，＝， ∴＝－－－＝－＋＋＝e2. 法二：过点C作CE∥DA，交AB于点E，交MN于点F(图略)． 同法一得＝ke2. 则＝＋＝－(－)＋＝e1＋(k－1)e2， ＝＋＝＋＝＋(－)＝e2. 题型三　平面向量基本定理的应用 　(2