第八章 数学建模活动(一)-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评课时作业（北师大版）

1．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(百元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋(k为正常数)，日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的部分数据如下表所示： x(天) 10 20 25 30 Q(x)(件) 110 120 125 120 已知第10天的日销售收入为121百元． (1)求k的值； (2)给出以下四种函数模型： ①Q(x)＝ax＋b，②Q(x)＝a|x－25|＋b， ③Q(x)＝a·bx，④Q(x)＝a·logbx. 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)求该服装的日销售收入f(x)(百元)的最小值． 解：(1)依题意知第10天的日销售收入为P(10)·Q(10)＝·110＝121，解得k＝1. (2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋b.从表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)． (3)由(2)知Q(x)＝125－|x－25| ＝ ∴f(x)＝P(x)·Q(x) ＝ 当1≤x＜25时，y＝x＋在[1,10]上是减函数，在[10,25)上是增函数，所以当x＝10时，f(x)取得最小值，f(x)min＝121； 当25≤x≤30时，y＝－x为减函数，所以当x＝30时，f(x)取得最小值，f(x)min＝124. 综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，f(x)min＝121. 2．[存贮模型]某公司每年需要某种计算机元件8 000个，每次购买元件需手续费500元，每个元件的库存费是每年2元．若将这些元件一次购进，则可少花手续费，但即便不考虑资金占用，8 000个元件的库存费也不少．若多次进货，则可减少库存费，但手续费要增加．现在需要确定：一年进几次货最经济？ 解：首先要做一些假设：(1)每天需同样多的元件；(2)其他费用可以作为常数看待． 将8 000个元件所需的总费用记为F元，一年总库存费记为E元，购买元件总手续费记为H元，其他费用记为C元(C为常数)，则 F＝E＋H＋C. 若每年平均进货n次(n∈N＋)，则每次的进货量为q＝个．假设用完q个元件的时间为＝年，在[0，]内，t时刻的库存量为V(t)，满足 V(t)＝kt＋b(0≤t≤)，V(0)＝q，V()＝0. 解得V(t)＝－8 000t＋q(0≤t≤)．如图，阴影部分的面积是第一个时间段内需支付库存费的库存量的总和，相当于在内每一时刻需支付库存费的库存量均为＝(个)． 在＝年中，每个元件的库存费为元，则个元件的库存费为 ·＝(元)， 一年总库存费为 E＝n·＝(元)． 另外，H＝500n元，所以 F＝E＋H＋C＝＋500n＋C(n∈N＋)． 由基本不等式，得 F≥2 ＋C＝4 000＋C. 当且仅当＝500n，即n＝4时，上面的不等式取等号，此时总费用最少，故以每年进货4次为宜． 本例中的模型叫作存贮模型． 3．为了估计一次性木质筷子的用量，2021年从某县共600家高、中、低档饭店中抽取10家进行调查，得到这些饭店每天消耗的一次性筷子的数据如下(单位：盒)： 0．6,3.7,2.2,1.5,2.8,1.7,1.2,2.1,3.2,1.0. (1)通过对样本数据的计算，估计该县2021年共消耗了多少盒一次性筷子？(每年按350个营业日计算) (2)2022年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式做了抽样调查，调查结果是10家饭店平均每家每天使用一次性筷子2.42盒，求该县2022年比2021年一次性木质筷子用量增加的百分率． (3)假如让你统计你所在省一年使用一次性木质筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做？简要地说明你的做法． 解：(1)10家饭店每天共消耗20盒，则估计600家饭店每天共消耗20×60＝1 200(盒)，从而可估计2021年(350天)共可消耗一次性筷子1 200×350＝420 000(盒)． (2)依题意知，2022年比2021年一次性木筷用量增加值为(2.42－2)×600×350＝88 200(盒)． 所以从2021年到2022年增加的百分率为＝21%. (3)先采用简单随机抽样的方法抽取若干县(市)(作样本)，再从这些县(市)中采用分层抽样的方法抽取若干家饭店，统计一次性木质筷子用量的平均数，从而估计总体平均数，再进一步计算所消耗的木材总量． 4．某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变，有关数据如表所示： 景点 A B C D