1.1.3 第2课时 补集及综合应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

第2课时　补集及综合应用 [素养目标]　1.理解全集、补集的含义，会求给定集合的补集，培养数学抽象素养．　2.能够解决交集、并集、补集的综合运算问题，提升数学运算、直观想象素养． 　全集、补集的定义及性质 1．全集 在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示． 2．补集的定义 文字 语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA，读作“A在U中的补集”．由全集U及其子集A得到∁UA，通常称为补集运算． 符号 语言 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 图形 语言 3.补集运算的性质 给定全集U及其任意一个子集A (1)A∪(∁UA)＝U； (2)A∩(∁UA)＝∅； (3)∁U(∁UA)＝A． [拓展] 1．补集的相对性 集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． 2．∁UA包含的三层意思 (1)A⊆U.(2)∁UA是一个集合，且∁UA⊆U.(3)∁UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合． [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数集问题中全集一定是R.(　　) (2)若集合A＝{x|x＞0}，则∁RA＝{x|x＜0}．(　　) (3)若A⊆B⊆U，则∁UA⊇∁UB．(　　) (4)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一．(　　) 答案：(1)×.全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，因研究问题而异． (2)×.∁RA＝{x|x≤0}． (3)√.画出维恩图可知，此说法正确． (4)√.根据补集的定义可知，此说法正确． 2．设集合U＝R，M＝{x|x＞2或x＜0}，则∁UM＝(　　) A．{x|0≤x≤2} B．{x|0＜x＜2} C．{x|x＜0或x＞2} D．{x|x≤0或x≥2} 解析：如图，在数轴上表示出集合M，可知∁UM＝{x|0≤x≤2}． 答案：A 3．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝________． 解析：因为A∪∁UA＝U，且A∩∁UA＝∅， 所以A＝{x|1≤x＜2}．所以a＝2. 答案：2 4．(教材共享·北师好题)设全集U＝R，A＝{x|x<5}，B＝{x|x>3}，求： (1)∁R(A∩B)； (2)∁R(A∪B)； (3)(∁RA)∩(∁RB)； (4)(∁RA)∪(∁RB)． 解：(1)在数轴上表示出集合A，B如图1， 图1 则A∩B＝{x|x<5}∩{x|x>3}＝{x|3<x<5}， 所以∁R(A∩B)＝{x|x≤3，或x≥5}； (2)由图1可知A∪B＝{x|x<5}∪{x|x>3}＝R， 所以∁R(A∪B)＝∅； (3)在数轴上表示出集合∁RA，∁RB如图2. 图2 即∁RA＝{x|x≥5}，∁RB＝{x|x≤3}， 所以(∁RA)∩(∁RB)＝{x|x≥5}∩{x|x≤3}＝∅； (4)由图2可知(∁RA)∪(∁RB)＝{x|x≥5}∪{x|x≤3}＝{x|x≤3，或x≥5}. 　补集的基本运算(小组探究) 　(1)设全集U＝R，集合A＝{x|2＜x≤5}，则∁UA＝________． (2)设U＝{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3，3，4}，则∁UA＝ ________，∁UB＝________． 【尝试解答】　(1)用数轴表示集合A为图中阴影部分 ∴∁UA＝{x|x≤2或x＞5}． 答案：{x|x≤2或x＞5} (2)法一：在集合U中， ∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3，3，4，5， ∴U＝{－5，－4，－3，3，4，5}． 又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3，5}， ∴∁UA＝{－5，－4，3，4}，∁UB＝{－5，－4，5}． 法二：可用维恩图表示 则∁UA＝{－5，－4，3，4}，∁UB＝{－5，－4，5}． 答案：{－5，－4，3，4}　{－5，－4，5} 求集合补集的解题思路 (1)当集合用列举法表示时，直接利用定义或借助维恩图求解． (2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助于数轴，利用数轴分析法求解． 1．若集合A＝{x|－3≤x<1}，当U分别取下列集合时，求∁U A． (1)U＝R； (2)U＝{x|x≤5}； (3)U＝{x|－5≤x≤1}． 解：(1)把集合A表示在数轴上，如图所示． 根据补集定义可得∁U A＝{x|x<－3或x≥1}． (2)把集合U和A表示在数轴上，如图所示， 根据补集定义可得∁U A＝{x|x<－3或1≤x≤5}． (3)把集合U和A表示在数轴上，如图所示， 根据补集定义可得∁U A＝{x|