第三章 空间向量与立体几何 章末小结-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

章末小结 专题一　空间向量的运算 [例1]　(1)如图所示，平行六面体A1B1C1D1-ABCD，M分AC成的比为，N分A1D成的比为2，设＝a，＝b，＝c，则＝________(用a、b、c表示)； (2)已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ的值为________． 【解析】　(1)连接AN(图略)，则＝＋，由已知四边形ABCD是平行四边形， 故＝＋＝a＋b，又＝－＝－(a＋b)． 由已知，N分A1D成的比为2，故＝＋＝－＝－＝(c＋2b)． 于是＝＋＝－(a＋b)＋(c＋2b)＝(－a＋b＋c)． (2)法一　由|λa＋b|＝得，λ2|a|2＋|b|2＋2λa·b＝29， 又|a|＝＝，|b|＝＝， a·b＝(0，－1，1)·(4，1，0)＝0×4＋(－1)×1＋1×0＝－1， 代入上式得2λ2－2λ＋17＝29， 即λ2－λ－6＝0，解得λ＝3或λ＝－2， 又λ>0，∴λ＝3. 法二　由于a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)， 所以λa＋b＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，|λa＋b|＝， ∴42＋(1－λ)2＋λ2＝29， 整理得λ2－λ－6＝0，解得λ＝3或λ＝－2， 又∵λ>0，∴λ＝3. 【答案】　(1)(－a＋b＋c)　(2)3 【反思感悟】　1.空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量． 2．空间向量的数量积的定义表达式为a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉，其他变式如夹角公式cos〈a，b〉＝，模的公式a2＝|a|2等都是解决立体几何问题的重要公式． [强化训练] 1．(1)设D为△ABC所在平面内一点，＝3， 则(　　) A．＝－＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ 解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋. 答案：A (2)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　) A．|b|＝1　　　　　　 B．a⊥b C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥ 解析：在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，||＝2⇒a·b＝－1，所以a·b＝|a| |b|cos 120°＝－1，所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥. 答案：D 专题二　利用向量法证明空间中的平行与垂直 [例2]　如图所示，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD，CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB＝4. (1)求证：DF∥平面BCE； (2)线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由． 【解】　(1)证明：在平面ABEF内，过A作Az⊥AB． 因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，又Az⊂平面ABEF，Az⊥AB，所以Az⊥平面ABCD，AD⊥Az，Az⊥AB．又∵AB⊥AD． 如图所示，以A为坐标原点，AD，AB，Az所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz. 由题意得，A(0，0，0)，B(0，4，0)，C(2，2，0)，D(2，0，0)，E(0，3，)，F(0，1，)． 所以＝(2，－2，0)，＝(0，－1，)，＝(－2，1，)． 设平面BCE的法向量为u＝(x0，y0，z0)， 则即 取y0＝1，则u＝(1，1，)为平面BCE的一个法向量． 所以·u＝(－2)×1＋1×1＋×＝0，所以⊥u. 因为DF⊄平面BCE，所以DF∥平面BCE. (2)线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF，理由如下． 连接AC，AE，如图所示．由(1)知＝(2，2，0)，＝(0，3，)，＝(2，－2，0)，＝(0，－3，)． 设平面BCF的法向量为n＝(x，y，z)，则 即 令y＝1，则x＝1，z＝，所以n＝(1，1，)为平面BCF的一个法向量． 法一　设平面ACE的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则即 令y1＝1，则x1＝－1，z1＝－，所以m＝(－1，1，－)为平面ACE的一个法向量． 因为m·n≠0，所以平面ACE与平面BCF不可能垂直，所以线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF. 法二　假设线段CE上存在点G，使得AG⊥平面BCF，设＝λ，其中λ∈[0，1]． 设G(x2，y2，z2)，则有(x2－2，y2－2，z2)＝(－2λ，λ，λ)， 所以x2＝2－2λ，y2＝2＋λ，z2＝λ，从而G(2－2λ，2＋λ，λ)，所以＝(2－2λ，2＋λ，λ)． 因为AG⊥平面BCF，