第二章 圆锥曲线 章末小结-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

章末小结 专题一　圆锥曲线的定义及应用 [例1]　(1)一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－6x＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为(　　) A．抛物线 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．椭圆 【解析】　选C．x2＋y2＝1是圆心为原点，半径为1的圆，x2＋y2－6x＋5＝0化为标准方程为(x－3)2＋y2＝4，是圆心为A(3，0)，半径为2的圆．设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，则⇒|PA|－|PO|＝1＜|AO|＝3，符合双曲线的定义，所以动圆圆心的轨迹为双曲线的一支． (2)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(　　) A．　　　　 B． C． D． 【解析】　选A．由题可得＝＝＝＝，故选A． (3)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________． 【解析】　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图所示， 则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16， ∴a＝4. 又离心率e＝＝，∴c＝2 ， ∴b2＝a2－c2＝8， ∴椭圆C的方程为＋＝1. 【答案】　＋＝1 【反思感悟】　“回归定义”解题的三点应用 应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程； 应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决； 应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决． 提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件． [强化训练] 1．(1)椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为(　　) A．28 B．24 C．22 D．20 解析：|PF1|＋|PF2|＝14，(|PF1|＋|PF2|)2＝196，|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝100，相减得2|PF1|·|PF2|＝96.S＝|PF1|·|PF2|＝24. 答案：B (2)点P是抛物线y2＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2，3)，则|PM|＋|PF|的最小值为________，此时点P的坐标为________． 解析：抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x＝－2的距离，过点P作PD垂直于准线x＝－2，垂足为D，那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|. 如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小，且最小值为|MD|＝2－(－2)＝4，所以|PM|＋|PF|的最小值是4. 此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为，即点P的坐标是. 答案：4　 专题二　求圆锥曲线方程 [例2]　(1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 【解析】　选D．由题意得，解得， 则b2＝a2－c2＝3，故椭圆方程为＋＝1. (2)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________． 【解析】　由题意得，解得，则b2＝c2－a2＝3， 因此双曲线方程为x2－＝1. 【答案】　x2－＝1. 【反思感悟】　求圆锥曲线方程的一般步骤 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置． (2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)． (3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小． [强化训练] 2．(1)顶点在原点，且过点(－4，4)的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝－4x B．x2＝4y C．y2＝－4x或x2＝4y D．y2＝4x或x2＝－4y 解析：∵抛物线的顶点在原点，且过点(－4，4)， ∴设抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)， 将点(－4，4)的坐标代入抛物线的标准方程x2＝2py(p＞0)得：16＝8p， ∴p＝2， ∴此时抛物线的标准方程为x2＝4y； 将点(－4，4)的坐标代入抛物线的标准方程y2＝－2px(p＞0)，同理可得p＝2， ∴此