第二章 导数及其应用 章末小结-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

章末小结 专题一　导数的运算及其几何意义 [典例1]　已知在曲线f(x)＝x3－2x2＋ax(a∈R)的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y＝x垂直． (1)求a的值和切线l的方程； (2)设曲线y＝f(x)上任意一点处的切线的倾斜角为α，求α的取值范围． 解：(1)由题意知，f′(x)＝x2－4x＋a，且方程x2－4x＋a＝－1有两个相等的实数根， ∴Δ＝(－4)2－4(a＋1)＝0，∴a＝3， 此时方程x2－4x＋a＝－1化为x2－4x＋4＝0， 得x1＝x2＝2， ∴切点的纵坐标为f(2)＝， ∴切线l的方程为y－＝－(x－2)， 即3x＋3y－8＝0. (2)设曲线y＝f(x)上任意一点(x，y)处的切线斜率为k (由题意知k存在)， 则由(1)知k＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1， 即tan α≥－1， ∴α的取值范围为0≤α＜或≤α＜π. [反思感悟]　1.导数的几何意义的应用： 利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点． 2．围绕着切点有三个等量关系： 切点(x0，y0)，则k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到． 3．复合函数求导的关注点： 复合函数求导运算的关键是分清求导层次，逐层求导，一般对于y＝f(ax＋b)的复合函数，只有两层复合关系，求导时不要忘了对内层函数求导即可． [强化练] 1．设曲线f(x)＝aex－ln x(a≠0)在x＝1处的切线为l，则l在y轴上的截距为(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C．ae D．ae－1 解析：选A.因为函数f(x)＝aex－ln x(a≠0)， 所以f′(x)＝aex－， 将x＝1代入，得k＝ae－1，又f(1)＝ae， 所以曲线f(x)在x＝1处的切线l的方程为y－ae＝(ae－1)(x－1)， 整理得y＝(ae－1)x＋1，令x＝0，得y＝1. 所以l在y轴上的截距为1.故选A. 2．设函数f(x)＝aexln x＋. (1)求导函数f′(x)； (2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y＝e(x－1)＋2，求a，b的值． 解：(1)由f(x)＝aexln x＋， 得f′(x)＝(aexln x)′＋′ ＝aexln x＋＋. (2)由题意得，切点既在曲线y＝f(x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上， 将x＝1代入切线方程，得y＝2， 将x＝1代入函数y＝f(x)，得f(1)＝b， 所以b＝2. 将x＝1代入导函数f′(x)中， 得f′(1)＝ae＝e， 所以a＝1. 专题二　利用导数研究函数的单调性 [典例2]　设函数f(x)＝xekx(k≠0)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在区间(－1，1)上单调递增，求k的取值范围． 解：(1)由题意得，f′(x)＝(1＋kx)ekx. 令f′(x)＝0，得x＝－(k≠0)． 若k＞0，则当x∈时，f′(x)＜0， 函数f(x)单调递减； 当x∈时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增． 若k＜0，则当x∈时，f′(x)＞0， 函数f(x)单调递增； 当x∈时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减． 综上，当k＞0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为， 当k＜0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. (2)由(1)知，若k＞0，则当且仅当－≤－1，即0＜k≤1时，函数f(x)在(－1，1)上单调递增； 若k＜0，则当且仅当－≥1，即－1≤k＜0时，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 综上可知，当函数f(x)在区间(－1，1)上单调递增时，k的取值范围是[－1，0)∪(0，1]． [反思感悟]　借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x ·ex等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是导数f′(x)的符号一般由二次函数来确定，经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体． [强化练] 3．若函数f(x)＝e－x(x2＋ax－a)在R上单调递减，则实数a的值为________ . 解析：依题意得，f′(x)＝≤0在R上恒成立，即(x＋a)(－x＋2)≤0恒成立，即－x2＋(2－a)x＋2a≤0恒成立， 故Δ＝(2－a)2＋8a≤0恒成立， 故(a＋2)2≤0恒成立，故a＝－2. 答案：－2 4．已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＜0时，证明f(x)≤－－2. 解：(1)f′(x)＝ ＝(x＞0)， 当a≥0时