02 数学 理解情境本质，提升转化能力-高考真实情境式命题探究

数学：理解情境本质，提升转化能力 命题研究 纵观近两年的新高考数学试卷，情境式命题的设计分为基础 性、综合性、应用性、创新性四种类型，各套试卷都很好地体现了这 个命题方向 . 一、基础性情境式命题 基础性情境式命题是将所考查知识内容在简单的情境里进行 考查的命题方式，便于考生直接切入试题，考查考生的基础知识、 基本能力与基本核心素养 . 例1（2021年新高考Ⅱ卷第10题）.（多选题）如下图，在正方体 中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M、N为正方体的顶点 .则 满足 MN⊥OP 的是 M N O P M N O P A. B. M N O P M N O P C. D. 【分析】为了考查直线与直线垂直关系的判定方法，试题将两 条直线放到正方体这个简单的情境中，便于呈现两条直线的具体 位置，也便于后面判断它们是否垂直。因为在正方体这个情境中， 无论是用几何法（通过平移或作射影）转化到同一个平面内进行判 断，还是用向量法（通过建立空间直角坐标系）判断两直线的方向 向量是否垂直，都非常便捷 . 【解析】 方法一：利用三垂线定理来判断两条直线是否垂直 . 在正方体中，分别作直线 OP 在直线 MN 所在平面内的射影， 通过判断 MN 是否垂直于射影，来判断 MN 是否垂直于OP . M N O P O′ M N O P O′ （选项A） （选项B） M N O P P′ O′ M N O P P′ O′ （选项C） （选项D） 在选项A中，OP 在 MN 所在平面内的射影为 O′N ，因为 MN 不垂直于O′N ，所以 MN 不垂直于OP ，故选项A不满足 . 在选项B中，OP 在 MN 所在平面内的射影为 O′P（O′是棱的 中点），因为 MN 垂直于O′P ，所以 MN 垂直于OP ，故选项B满足 . 在选项C中，OP 在 MN 所在平面内的射影为 O′P′（O′、P′分 别是棱的中点），因为 MN 垂直于 O′P′，所以 MN 垂直于 OP ，故选 项C满足 . 在选项D中，OP 在 MN 所在平面内的射影为 O′P′（O′、P′分 别是棱的中点），因为 MN 不垂直于 O′P′，所以 MN 不垂直于 OP ， 故选项D不满足 . 【答案】BC. 方法二：利用异面直线所成角的定义，将两条直线平移到同一 个平面内，再通过解三角形判断它们是 否垂直 . 不妨设正方体的棱长为 2 . 在选项 A中，如图 1所示，将直线 MN 平移至 AC ，则 ∠POC 为直线 OP 和 MN 所成的角（或其补角）， 在 Rt△OPC 中，OC= 2 ，CP= 1， 因此 tan∠POC = 12 = 2 2 ，所以 MN⊥OP 不成立，故选项A 不满足 . M N O P C A 图1 {#{QQABCYSAggAoAAIAAAhCEwXgCEOQkACACIoGABAEoAIBgBNABAA=}#} 在选项 B中，如图 2所示，将直线 MN 平移至 PQ（Q 是棱的中点），则 ∠OPQ 为异面直线 OP 和 MN 所成的角 （或其补角），在 △OPQ 中，OP= 3 ， PQ= 2 ，OQ= 5 ， 即OQ2 =OP2 +PQ2 ， 所以 MN⊥OP 成立，故选项B满足 . 在选项 C中，如图 3所示，将直线 MN 平移至 PQ（Q 是棱的中点），则 ∠OPQ 为异面直线 OP 和 MN 所成的角 （或其补角），在 △OPQ 中，OP= 3 ， PQ= 2 ，OQ= 5 ，即 OQ2 =OP2 +PQ2 ， 所以 MN⊥OP 成立，故选项C满足 . 在选项 D中，如图 4所示，将直线 MN 平移至 PQ（Q 是棱的中点），则 ∠OPQ 为异面直线 OP 和 MN 所成的角 （或其补角）， 在 △OPQ 中，OP= 5 ，PQ= 2 ， OQ= 3 ， 因此 cos∠OPQ = OP2 +PQ2 -OQ22OP·PQ = 10 5 ， 所以 MN⊥OP 不成立，故选项D不满足 . 【答案】BC. 方法三：利用空间向量的方法，分别 得到两条直线的方向向量，再判断它们 是否垂直 . 如图5，建立空间直角坐标系，不妨 设正方体的棱长为 2 . 在选项A中， O(1，1，0)，P(0，2，1)，M(2，0，2)，N(0，2，2)， 则 OP =(-1，1，1) ， MN =(-2，2，0) ，因为 OP· MN = 4≠ 0 ， 故 MN⊥OP 不成立，所以选项A不满足 . 在选项B中， O(1，1，0)，P(2，0，1)，M(2，0，0)，N(0，0，2)， 则 OP =(1， - 1，1) ， MN =(-2，0，2) ，因为 OP· MN = 0 ，故 MN⊥OP 成