6.3 平面向量的内积（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

6.3 平面向量的内积 知识点一 平面向量的内积 1. 两个向量的夹角 设有两个非零向量a, b，作＝a, ＝b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角，记作<a,b>．如下图 注意：向量a与b的夹角的范围是0≤θ≤π，且<a,b>=<b,a> 2. 两个向量的内积 两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即a·b＝｜a||b|cos<a,b> 3.向量内积的性质 （1）cos<a,b>＝. （2）当<a,b>＝0时，a·b＝|a||b|； 当<a,b>＝时，a·b＝−|a||b|. （3）当b＝a时，有<a,a>＝0， 所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝. （4）当时，ab，因此，a·b＝因此对非零向量a，b，有a·b＝0ab. 4.向量内积的运算律： （1）a·b＝b·a． （2）()·b＝(a·b)＝a·(b)． （3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 知识点二 内积的坐标表示 1. 两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和， 即a·b＝ x1 x2＋ y1 y2　　 　 2. 设a＝(x,y)，即 3.当a、b是非零向量时， cos<a,b>＝＝ 4.ab x1 x2＋ y1 y2＝0． 考点1 求内积 【例1】（1）已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　　) A.10 B.－10 C.3 D.－3 （2）已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，则(2a＋3b)·(3a－2b)= 【解题技法】求平面向量内积的两种方法 1.定义法：a·b＝|a||b|cos θ 2.坐标法：a·b＝x1x2＋y1y2 【变式1-1】向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于(　　) A.－1 B.0 C.1 D.2 【变式1-2】已知向量，，，，则（    ）. A．1 B． C．4 D． 【变式1-3】已知|a|＝3,|b|＝2, <a,b>＝,则a·b= 考点2 求夹角 【例2】（1）已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. （2）已知|a|＝|b|＝,a·b＝,则<a,b>= 【解题技法】求平面向量的夹角的方法 ①定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π]． ②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则cos θ＝. 【变式2-1】已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【变式2-2】已知向量，，，则与的夹角为________． 【变式2-3】已知，则与所成的夹角大小是 . 考点3 求向量的模 【例3】（1）已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　) A. B. C.5 D.25 （2）已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. 【解题技法】求解平面向量模的方法 ①若a＝(x，y)，利用公式|a|＝. ②利用|a|＝. 【变式3-1】已知平面向量，且，那么等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|等于(　　) A.16 B.256 C.8 D.64 【变式3-3】已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则|a－2b|= 考点4 向量的垂直 【例4】（1）已知单位向量的夹角为，与垂直，则＝（            ） A． B． C． D． （2）已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________. 【解题技法】解决与垂直相关题目的依据是a⊥b⇔a·b＝0，利用内积的运算代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题． 【变式4-1】已知向量，均为单位向量，且，则（       ） A．-7 B．7 C．-13 D．13 【变式4-2】已知向量，.若，则 . 【变式4-3】已知向量，，若，则 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3 平面向量的内积 知识点一 平面向量的内积 1. 两个向量的夹角 设有两个非零向量a, b，作＝a, ＝b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角，记作<a,b>．如下图 注意：向量a与