第17讲 数学归纳法-2023-2024学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册、选择性必修第二册）

第17讲 数学归纳法 【人教A版2019】 ·模块一 数学归纳法 ·模块二 课后作业 模块一 数学归纳法 1．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 2．数学归纳法的重要结论及适用范围 数学归纳法的重要结论 适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题 【考点1 数学归纳法的证明步骤】 【例1.1】（2023春·陕西西安·高二校考期中）用数学归纳法证明“”时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023春·上海·高二期中）用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（　　） A．假设正确，再推正确 B．假设正确，再推正确 C．假设正确，再推正确 D．假设正确，再推正确 【变式1.1】（2023·全国·高三对口高考）已知，证明不等式时，比多的项数为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·全国·高三专题练习）我们学习了数学归纳法的相关知识，知道数学归纳法可以用来证明与正整数n相关的命题.下列三个证明方法中，可以证明某个命题对一切正整数n都成立的是（    ） ①成立，且对任意正整数k，“当时，均成立”可以推出“成立” ②，均成立，且对任意正整数k，“成立”可以推出“成立” ③成立，且对任意正整数，“成立”可以推出“成立且成立” A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 【考点2 用数学归纳法证明恒等式】 【例2.1】（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【例2.2】（2023秋·高二课时练习）用数学归纳法证明（为正整数）． 【变式2.1】（2023·高二校考课时练习）观察下面等式：写出由这些等式归纳的一般规律，用数学归纳法证明． 【变式2.2】（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明： （1）； （2）； （3）． 【考点3 用数学归纳法证明不等式】 【例3.1】（2023·全国·高三专题练习）证明∶不等式成立. 【例3.2】（2023春·高二课时练习）证明：对于一切自然数都有. 【变式3.1】（2022·高二课时练习）试用数学归纳法证明. 【变式3.2】（2023秋·高二课时练习）设，是否存在一次函数，使得对的一切自然数都成立，并试用数学归纳法证明你的结论. 【考点4 用数学归纳法证明几何问题】 【例4.1】（2022·高二课时练习）平面内有个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这个圆把平面分成了个区域． 【例4.2】（2023·高二课时练习）试证明对任何自然数，每一个正方形都可分成个正方形. 【变式4.1】（2023·全国·高二随堂练习）已知，且平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，证明这些直线的交点的个数为． 【变式4.2】（2023·高二课时练习）如图，类似于中国结的一种刺绣图案，这些图案由小正方形构成，其数目越多，图案越美丽，若按照前4个图中小正方形的摆放规律，设第个图案所包含的小正方形个数记为． （1）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出与的关系，并通过你所得到的关系式，求出的表达式； （2）计算：，，的值， 猜想 的结果，并用数学归纳法证明． 【考点5 用数学归纳法证明整除问题】 【例5.1】（2023秋·高二课时练习）用数学归纳法证明：能被整除. 【例5.2】（2023·全国·高二随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【变式5.1】（2023·全国·高二随堂练习）求证：对任意正整数，都能被整除． 【变式5.2】（2023·全国·高三对口高考）是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 【考点6 用归纳法解决与递推公式有关的数列问题】 【例6.1】（2023春·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）已知正项数列的前n项和为，． (1)计算，，，，根据计算结果猜想的表达式． (2)用数学归纳法证明你的结论． 【例6.2】（2023春·北京房山·高二统考期末）已知数列的通项公式为，记该数列的前n项和为． (1)计算，，，的值； (2)根据计算结果，猜想的表达式，并进行证明． 【变式6.1】（2023春·山西太原·高二校考阶段练习）下题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？把错误的地方改正确．用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是．