3.1.2 函数的单调性（第2课时）（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第一册）

2023-2024学年高一数学同步精品教学课件 3.1.2函数的单调性（第2课时） 第三章 函数 高一必修第一册（2019人教B版） 函数的最大（小）值 ①学习目标 ②新知导入 ③新知探索 ④教材例题 ⑤课堂练习 ⑥课堂总结 ⑦作业布置 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 2.会借助单调性求最值.（重点） 3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法.（难点） 学习目标 提示　当x＝0时，f(x)的最小值为1. 新知导入 情景一：函数f(x)＝x2＋1≥1，则f(x)的最小值为1吗？ (2)如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点； (3)最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点. 函数的最大(小)值：一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D. 新知探索 知识点一：最值的概念 (1)如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点； 【解析】作出函数f(x)的图像(如图).由图像可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0. 【典例】已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,\f(1,x)，x>1.))求f(x)的最大值、最小值. 新知探索 知识点二：最值的求法—函数图象 【典例】已知函数f(x)＝eq \f(x－1,x＋2)，x∈[3，5]. (1)判断函数f(x)的单调性，并证明； (2)求函数f(x)的最大值和最小值. 新知探索 知识点三：最值的求法—单调性 新知探索 知识点三：最值的求法—单调性 【解析】(1)f(x)是增函数，证明如下： 任取x1，x2∈[3，5]且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1－1,x1＋2)－eq \f(x2－1,x2＋2)＝eq \f(3（x1－x2）,（x1＋2）（x2＋2）)， 因为3≤x1<x2≤5，所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).所以f(x)在[3，5]上为增函数. (2)由(1)知，f(x)在[3，5]上为增函数，则f(x)的最大值为f(5)＝eq \f(4,7)，f(x)的最小值为f(3)＝eq \f(2,5). 【解析】(1)∵函数图像的对称轴是x＝a，∴当a<2时，f(x)在[2，4]上是增函数， ∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.当a>4时，f(x)在[2，4]上是减函数， ∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2. 设f(x)在[2，4]上的最小值为g(a). ∴g(a)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6－4a，a<2，,2－a2，2≤a≤4，,18－8a，a>4.)) 【典例】 (1)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2，4]上的最小值； (2)求函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值. 新知探索 知识点四：二次函数的最值问题 新知探索 知识点四：二次函数的最值问题 (2)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8. 设f(x)在[t，t＋1]上的最小值为g(t). 当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4； 当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8； 当t＋1<2即t<1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.综上，g(t)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t2－2t－7，t<1，,－8，1≤t≤2，,t2－4t－4，t>2.)) 【解析】任取 且 , 则 , 那么 所以这个函数是增函数. 因此, 当时,有 从而这个函数的最小值为, 最大值23 教材例题 【典例2】判断函数 的单调性, 并求这个函数的最值. 【证明】设 , 则 因此:当 时, 有 , 从而 , 因此 在 上是减函数;当 时, 有 , 从而 , 因此 在 上是增函数.由函数的单调性可知, 函数没有最大值; 而且, 当 时, 有当 时, 不等式也成立, 因此 是函数的最小值. 教材例题 【典例5】证明函数在 上是减函数,在, 上是增函数, 并求这个函数的最值. 【解析】因为f(x)＝－2x＋1在[－2，2]是减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.故选B. 课堂练习