第六章 4.3 百分位数-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

4.2　分层随机抽样的均值与方差 4．3　百分位数 　分层随机抽样的平均数 问题：某学校高一年级，只知道甲班和乙班的数学平均成绩为甲＝70，乙＝80；甲班人数为50人，乙班人数为40人，而缺少每名学生的成绩，如何计算甲、乙这两个班的数学平均成绩？ 提示：甲、乙这两个班的平均成绩＝＝·甲＋·乙＝甲＋乙≈74.4(分) 结论：设样本中不同层的平均数分别为1，2，…，n；各层所占比例(权重)分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的平均数＝w11＋w22＋…＋wnn＝ii. 　分层随机抽样的方差 问题：甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人，甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？ 提示：设甲班50名学生的成绩分别是a1，a2，…，a50，那么甲班的平均成绩、权重、方差分别为甲＝80.5(分)，w甲＝，s＝500. 设乙班40名学生的成绩分别是b1，b2，…，b40，那么乙班的平均成绩、权重、方差分别为乙＝85(分)，w乙＝，S＝360. 故全部90名学生的平均成绩＝w甲·甲＋w乙乙＝82.5(分)． 根据方差的定义，全部90名学生的方差可以用式子s2＝进行计算． 由于不知道这90名学生的具体成绩，如何求全部90名学生的方差呢？请同学们阅读教材：P172的分析理解． 结论：设样本中不同层的平均数分别为1，2，…，n，方差分别为s，s，…，s，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为 s2＝i[s＋(i－)2]，其中为样本平均数． 　百分位数 背景：给出一组数据1,2,3,4,5,6，中位数显然是3.5，它有这样的特点，数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是50%，我们称3.5是50%分位数． 结论：百分位数的定义：一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0,1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p. 25%,50%,75%分位数是三个常用的百分位数，也称总体的四分位数． 总体的p分位数通常是未知的，我们可以用样本的p分位数来估计它，样本容量越大，估计越准确．百分位数是考虑总体与样本的另一种数字特征． [小组探究] 某公司的高收入员工月平均工资是11 000元，中等收入员工月平均工资是6 500元，低收入员工月平均工资是2 900元．能否认为该公司员工的月平均工资收入是＝6 800(元)？这样计算平均数的方法合理吗？ 解：这种算法不合理，理由： 如果该公司有1 000名员工，其中50名属于高收入者，150名属于中等收入者，800名属于低收入者，那么由于每一类员工所占比例不同，因此上述计算方法显然不合理． [互动探究] 　分层随机抽样的平均数 　某市有大、中、小型商店的数量之比是1∶5∶9，其中大型商店的年纳税额为300万元，中型商店的年纳税额为25万元，小型商店的年纳税额为0.4万元，求该市所有商店的年平均纳税额(结果保留一位小数)． 【解】　由题意知，该市所有商店的年平均纳税额为 ＝×300＋×25＋×0.4≈28.6(万元)． 所以该市所有商店的年平均纳税额为28.6万元． 在利用公式＝w11＋w22＋…＋wnn求分层随机抽样的平均数时，要清楚公式中各符号的含义，避免代入数据时出现失误，同时要仔细运算，按照要求保留有效小数． 1．某公益组织在某社区调查年龄在[20,50]内的居民熬夜时间，得到如下表格： 年龄区间 居民人数(单位：百人) 所占比例 平均熬夜时长(单位：h) [20,30) 3.6 30% 4 [30,40) 6 b 2 [40,50] a c 1 其中有三项数据由于污损用a，b，c代替，试求该社区所调查居民的平均熬夜时长． 解：由表可知该社区在[20,50]内的居民人数为3.6÷30%＝12(百人)，则年龄在[30,40)的居民所占比例为6÷12＝50%，年龄在[40,50]的居民人数所占比例为1－30%－50%＝20%，故该社区所调查居民的平均熬夜时长为＝4×30%＋2×50%＋1×20%＝1.2＋1＋0.2＝2.4(h)． 　分层随机抽样的方差 　甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？ 【解】　由题意可知甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为w甲＝＝. 乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为w乙＝＝. 则甲、乙两队全部队员的平均体重为＝w甲 甲＋w乙乙＝×60＋×70＝68 kg， 甲、乙两队全部队员的体重的方差