第一章 §1 周期变化-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

§1　周期变化 [素养目标]　1.理解周期函数、周期、最小正周期的概念．　2.会求周期函数的最小正周期及周期函数的解析式．　3.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算的学科素养． 探究点一　求函数的周期 [基础梳理] 1．周期函数 一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期．周期函数的周期不止一个． 2．最小正周期 如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数．那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期． [互动探究] 　(1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数． 证明：∵f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2) ＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数． (2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数． 证明：∵f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2] ＝－＝－＝f(x)， ∴由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数． 1．证明函数是周期函数，只需根据定义证明存在非零常数T，对定义域内任意实数x，都有f(x＋T)＝f(x)． 2．一般地，如果f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x)的周期为2a(a≠0)；如果f(x＋a)＝，那么f(x)的周期也为2a(a≠0)．　　 [跟踪训练] 1．已知f(x)是定义在R上的函数，满足f(x＋2)＝. (1)若f(－)＝3，求f()； (2)求证：f(x)的周期为4. 解：(1)∵f()＝f(－＋2)＝＝－， ∴f()＝f(＋2)＝＝3. (2)证明：∵对任意的x∈R，满足f(x＋2)＝ ∴f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝＝＝f(x)， ∴函数f(x)是以4为周期的周期函数． 探究点二　函数周期的应用 [互动探究] 　(1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－，且对任意的x都有f(x＋2)＝，则f(2 024)＝________． 解析：由f(x＋2)＝，得f(x＋4)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2 024)＝f(4)．因为f(2＋2)＝，所以f(4)＝－＝－＝－2－.故f(2 024)＝－2－. 答案：－2－ (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________． 解析：∵f(x＋4)＝f(x－2)， ∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数， ∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)． 又f(x)是定义在R上的偶函数， ∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6. 答案：6 (3)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且它的图象关于x＝2对称，当x∈[－2，2]时，f(x)＝－x2＋1，则x∈[－6，－2]时，f(x)＝________． 解析：由题意可知，f(x)的图象有两条对称轴x＝0和x＝2，所以f(x)是周期函数，且它的一个周期为4.又当x∈[－6，－2]时，x＋4∈[－2，2]， 所以f(x)＝f(x＋4)＝－(x＋4)2＋1＝－x2－8x－15. 答案：－x2－8x－15 1．利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 2．根据函数的周期性，可以由函数局部的解析式(或函数值)得到整个定义域内的解析式(或相应的函数值)．　　 [跟踪训练] 2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝x2＋lnx，则f(2 023)＝(　　) A．1　　 B．0　　 C．－1　　 D．2 解析：C　由f(x＋4)＝f(x)可得函数f(x)周期为T＝4， 又f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－(12＋ln1)＝－1. 3．定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则函数f(x)(　　) A．在区间[0，1]上是增函数，在区间[－2，－1]上是减函数 B．在区间[0，1]上是增函数，在区间[－2，－1]上是增函数 C．在区间[0，1]上是减函数，在区间[－2，－1]上是减函数 D．在区间[0，1]上是减函数，在区间[－2，－1]上是增函数 解析：B　∵f(x)＝f(2－x)， ∴f(x)关于直线x＝1对称， ∵f(x)在区间[1，2]上是减函