核心训练4 指数函数与对数函数（5大考点 知识笔记+核心训练）-【考点题型全过关】2023-2024学年高一数学期中期末综合复习专题提优训练（人教A版2019必修第一册）

核心训练4 指数函数与对数函数 目录 考点一：指数 1 考点二：指数函数 9 考点三：对数 21 考点四：对数函数 30 考点五：函数应用（二） 42 考点一：指数 ★n次方根，根式 1．a的n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ★根式的性质 根式的性质是化简根式的重要依据 (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0. (3)()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)＝a(n为大于1的奇数)． (5)＝|a|＝(n为大于1的偶数)． ★有限制条件根式的化简 (1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负． ★分数指数幂 1．规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． 2．规定正数的负分数指数幂的意义是：＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． 3．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 4.根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 有理数指数幂的运算性质 ★整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． (4)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈Q)． ★无理数指数幂 1.一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 2.指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质． 3.利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键． (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式． x2＋x－2＝(x±x－1)2 ∓2，x＋x－1＝(±)2∓2，＋＝(±)2∓2. 一、单选题 1．（2022秋·福建龙岩·高一上杭一中校考期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022秋·湖北荆州·高一沙市中学校考期中）若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2021秋·浙江温州·高一瓯海中学校考阶段练习）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A．（） B． C．（） D．（） 5．已知，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2022秋·河南漯河·高一漯河高中校考期末）下列判断正确的是（    ） A．函数既是奇函数又是偶函数 B．函数是非奇非偶函数 C．函数是偶函数 D．函数是奇函数 二、多选题 7．（2022秋·江苏南京·高一南京市第十三中学阶段练习）已知实数满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2022秋·福建福州·高一闽侯县第一中学校考阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（2022秋·河南洛阳·高一校考阶段练习） . 10．（2022秋·四川宜宾·高一统考阶段练习）化简的结果是 ． 四、解答题 11．（2023秋·江苏南京·高一南京市第一中学校考阶段练习）（1）化简：； （2）已知，分别求，的值. 12．（2022秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）化简与求值： (1)； (2)． 13．（2022秋·安徽·高一校联考期中）计算或化简下列各式： (1)； (2)． 14．（2022秋·河南安阳·高一统考期中）（1）若，求的值； （2）若，求的值． 考点二：指数函数 ★指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. ★两类指数模型 1．y＝kax(k>