专题3.4 函数的应用（一）（重点题型解题技巧）-2023-2024学年高一数学上学期重难点题型秒杀秘籍与满分必刷（人教A版2019必修第一册）

专题3.4 函数的应用（一）（重点题型解题技巧） 【题型1 基本（均值）不等式的应用】 【题型2 给定函数模型解决实际问题】 【题型3 利用二次函数模型解决实际问题】 【题型4 利用分段函数模型解决实际问题】 题型1 基本（均值）不等式的应用 函数应用步骤如下： 第一步：利用题意求出符合题意得表达式 第二步：整理表达式使其变为的格式 第三步：利用基本不等式解决. 模型1：党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计.而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.2018年张家口市成功入围国家清洁能源取暖试点城市，到2021年，全市全面建成清洁能源取暖试点城市，并通过示范城市的建设大力推动清洁能源规模化、普及化及科学化发展.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效.通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 分析：设沼气池的底面长为x米，沼气池的总造价为y元，依题意有，利用均值不等式即可求解 破解：设沼气池的底面长为x米，沼气池的总造价为y元 因为沼气池的深为2米，容积为32立方米，所以底面积为16平方米 因为底面长为x米，所以底面的宽为 依题意有 因为，由平均值不等式可得 即，所以，当且仅当，即时、等号成立 所以当沼气池的底面是边长为４米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元 模型2：运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米，（单位：千米/小时）．假设汽油的价格是每升8元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时80元． (1)求这次行车总费用关于的表达式； (2)当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 破解：（1）卡车行驶时间为小时，则 所以这次行车总费用y关于x的表达式是， （2）由（1）知， 当且仅当，即时等号成立 故当千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元 模型3：为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？ (2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 破解：第一步：（1）依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，则，解得 又， 所以调整后的技术人员的人数最多75人 （2）假设存在实数满足条件 由技术人员年人均投入不减少得, 解得 由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有 两边同除以得，整理得 故有，因为, 当且仅当时等号成立, 所以，又因为, 所以当时,取得最大值7, 所以，，即存在这样的m满足条件，其值为7. . 1．党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种灯需投入的年固定成本为3万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（注：年利润年销售收入固定成本变动成本） (2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 2．某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完. (1)求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 3．某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元）