4.4 数学归纳法-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章《数列》 4.4 数学归纳法 [核心素养·学习目标] 学习目标 核心素养 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 通过本节课的学习，要求掌握数学归纳法的方法与步骤，并能用此方法证明一些等式及不等式成立.学会用数 推理的思想及方式有步骤严谨地证明数学中相关的等式及不等式的成立. 课前预习 1．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 时命题成立； (2)(归纳递推)以当“ (k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当 时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． 2．数学归纳法的证明形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1) 为真；(2)若 为真，则 也为真． 结论： 为真． 3. 数学归纳法中的两个步骤 在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当 时结论成立，即命题 ；第二步是证明一种 关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P(n0)真， 真…… 真， 真……，从而完成证明． 知识讲解 1 数学归纳法的概念 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当时命题成立； (2)(归纳递推)以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”； 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法. 注意： 1.数学概念法类似“多米诺骨牌”，满足两个条件：①第一个骨牌可倒下；②任一个骨牌倒下时均可令下个骨牌倒下；这样所有骨牌均倒下了！故用数学归纳法证明，两个步骤缺一不可. 2.第一步归纳奠基中的不一定是；第二步中当证明从到时，所证明的式子不一定只增加一项. 3.在运用数学归纳法证明在证明第二步中，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在时的式子中凑出的式子(确定两个式子的“差项”；二是“凑”结论，明确时要证明的目标，在这个过程中常用到比较法、分析法等，不等式证明中还会用到放缩法)； 4.要注意“观察---归纳—猜想---证明”的思维模式和由特殊到一般的数学思想. 2 数学归纳法的运用 数学归纳法证明的对象是与正整数有关的命题，比如：与正整数有关的等式或不等式的证明，求数列的通项公式，与数列有关的不等关系证明，整除问题，函数不等式等. 【大招总结】 1．归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想 的一种方法. 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法. 2．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 3．数学归纳法的重要结论及适用范围 二级结论总结 一、数学归纳法三个关键点 （1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． （2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． （3）利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 二、归纳——猜想——证明”的一般环节： 1、计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前题； 2、归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论； 3、证明：对一般结论利用数学归纳法进行证明. 三、用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项 1、明确初始值并验证真假（必不可少）； 2、“假设时命题正确”并写出命题形式； 3、分析“时”命题是什么，并找出与“”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项； 4、明确等式左端变形目标，掌握恒等变形常用的方法：乘法公式、因式分解